Una variable aleatoria $X$ es $P$ -a.s. constante si $\sigma(X)$ es $P$ -trivial- para qué espacios de estado?

Question

Dejemos que $(\Omega,\mathcal F, P)$ un espacio de probabilidad, $(E,\mathcal E)$ un espacio medible, y $X\colon\Omega\to E$ a ( $\mathcal F$ - $\mathcal E$ -medible) variable aleatoria.

En el caso $(E,\mathcal E)=(\mathbb R,\mathcal B (\mathbb R))$ es bien sabido que

$$ P(X=c)=1 \quad \text{for some $ c\in\mathbb R $} \quad \iff \quad P(A)\in\{0,1\} \quad\text{for all $ A\Nsigma(X) $.}$$

La dirección " $\Rightarrow$ " es trivial y la dirección " $\Leftarrow$ "se deduce fácilmente al observar la función de distribución $F(x)=P(X\le x)$ . Obviamente, el argumento puede extenderse al caso multidimensional, y parece plausible que se pueda extender a otros casos en los que el concepto de función de distribución ya no tenga sentido.

Pregunta: ¿Existen condiciones (razonablemente simples y verificables) sobre $(E,\mathcal E)$ bajo la cual la equivalencia anterior sigue siendo válida?

Obviamente, hay que asumir que $\mathcal E$ contiene todos los monotonales. Además, podemos tener problemas si la medida $P$ sólo puede tomar los valores 1 y 0 para empezar (como en el ejemplo dado en la respuesta de GEdgar).

Answer 1

Un ejemplo.
$\Omega = E$ es un conjunto incontable.
$\mathcal F = \mathcal E$ la colección de los subconjuntos contables y los subconjuntos cocontables.
$X : \Omega \to E$ la función de identidad.
Medida de la probabilidad $P$ se define como $1$ en conjuntos co-contables, $0$ en conjuntos contables.

Answer 2

Supongamos que $E$ es un segundo espacio topológico contable de Hausdorff. Se puede observar que cualquier espacio métrico separable como $\Bbb R^n$ , $C[0,1]$ etc., se incluye en esta clase. Sea $\mathcal E$ sea el Borel $\sigma$ -álgebra en $E$ , escriba $\Bbb P:=P\circ X^{-1}$ (la medida pushforward de $P$ en $X$ ), y asumir que $\Bbb P(A)\in \{0,1\}$ por cada $A\in\mathcal E$ . Sea $\{U_n\}_{n\ge 1}$ sea una base contable de $E$ . Definir el apoyo $C$ de $\Bbb P$ como $$ C=E\setminus \bigcup\{U_k:\Bbb P(U_k)=0\}. $$ Encontramos que $C$ es un conjunto cerrado con medida completa $1$ . Ahora, supongamos que $C$ contiene puntos distintos $x\ne y$ . Podemos encontrar $\alpha\ne \beta$ tal que $x\in U_\alpha, y\in U_\beta$ y $U_\alpha\cap U_\beta=\varnothing$ por el axioma de separación. Obsérvese que $$ \Bbb P(U_\alpha)=0\implies C\cap U_\alpha =\varnothing $$ lleva a una contradicción a que $x\in C\cap U_\alpha$ . Así que tenemos que $\Bbb P(U_\alpha)=1$ y de la misma manera, $\Bbb P(U_\beta)=1$ . Pero esto lleva a una contradicción como debería ser $\Bbb P(U_\alpha)+\Bbb P(U_\beta)\le 1$ . Esto da $C=\{p\}$ para algunos $p\in E$ , estableciendo $\Bbb P(\{p\})=1$ como se quería.