Por qué utilizar un determinante igual a cero

Question

Estoy atascado en un paso en algunos cálculos de mi profesor:

tenemos que $x_1$ y $x_2$ son distintos de cero y que $u_1>0$ .

$ \begin{bmatrix} u_1 & 4 \\ 4 & u_1 \\ \end{bmatrix}$ * $\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \end{bmatrix}$ = $0$ $$-$$ Parece un paso trival pero el profesor utiliza :

$det\begin{bmatrix} u_1 & 4 \\ 4 & u_1 \\ \end{bmatrix}$ = $0$ $$-$$ Cómo es que usamos el determinante para resolver nuestro $u_1$ ?

Answer 1

En general, si un sistema lineal cuadrado homogéneo tiene una solución distinta de cero, entonces la matriz no puede ser invertible y por tanto tiene determinante igual a cero.

Answer 2

He aquí una justificación. Cambio un poco la notación. Supongamos que tenemos un par de ecuaciones $$ ax + by = 0\\cx+dy =0,\\$$ donde $x$ y $y$ no son ambos cero. Si $x =0$ entonces tenemos $by = 0$ y $dy =0$ para que $b = d = 0$ desde $y \neq 0$ y la matriz $\left(\begin{array}{clcr} a& b\\c&d \end{array}\right)$ tiene determinante cero. Así que supongamos que $x \neq 0$ .

Multiplica la primera ecuación por $d$ y la segunda ecuación por $b$ para conseguirlo: $$ adx + bdy = 0\\bcx+bdy =0.\\$$ Ahora resta la segunda ecuación de la primera para obtener $(ad-bc)x + 0y = 0$ . Desde $x \neq 0$ Debemos tener $ad-bc = 0$ y la matriz $\left(\begin{array}{clcr} a& b\\c&d \end{array}\right)$ sigue teniendo un determinante cero.

Por otro lado, si $ad-bc = 0$ podemos resolver el sistema de ecuaciones tomando $ x = d, y =-c$ y también tomando $x = -b, y = a$ por lo que hemos encontrado al menos una solución no nula del sistema de ecuaciones, a menos que $a = b = c = d = 0$ . Pero si $a = b = c = d = 0$ , entonces cualquier elección de $x$ y $y$ que no sean ambos cero da una solución no nula.