En la ecuación de Schrödinger, ¿existe un operador asociado a $V$ como ocurre con $T$ (en el Hamiltoniano)?

Question

En el Ecuación de Schrödinger podemos ver un operador asociado a la posición Este operador se utiliza en la expresión para la energía cinética $T$ siendo parte de la mecánica cuántica Hamiltoniano .
¿Por qué no hay un operador para $V$ ¿se ve en la ecuación? $V$ siendo la energía potencial en el Hamiltoniano?
La energía potencial depende tanto de $x$ y $t$ : $V=V(x,t)$ si consideramos sólo una dimensión espacial.
Se ha dicho en respuesta a este cuestión de que ya hemos elegido una base y que $V$ es un escalar.
Pero no es $x$ ¿también un escalar? ¿Por qué no se puede indicar explícitamente cómo $V(x,t)$ y conectar la función resultante de $x$ y $t$ en el SE?

La ecuación de Schrödinger:

Así, podemos abordar un problema con una $V(x,t)$ .

Así que la pregunta: ¿Puede $V(x,t)$ ¿se considera un operador? O mejor dicho, ¿por qué no? En el caso del átomo de hidrógeno, ¿no es $V(\vec{r},t)$ ¿se considera un operador?

¿Es porque para cada situación $V(x,t)$ es diferente, mientras que $T$ ¿tiene siempre la misma forma?

Answer 1

La ecuación de Schroedinger es una ecuación en términos de vectores de estado en un espacio de Hilbert y se lee:

$$ i\partial_t |\psi\rangle = \hat{H} |\psi\rangle$$

Para algún operador hermitiano $\hat{H}:\mathcal{H}\to\mathcal{H}$ . Normalmente es posible dividir un Hamiltoniano en una parte "cinética" y una parte "potencial":

$$\hat{H}=\hat{T}+\hat{V}$$

Ambos son operadores ya que su suma es un operador. Por ejemplo, para un oscilador armónico, $\hat{V}$ es el operador $\hat{x}^2$ (que, con las advertencias habituales sobre su falta de rigor, es el operador hermitiano cuyas funciones propias son las funciones delta $\delta(x-a)$ y tiene valores propios $a^2$ ).

Answer 2

Sí, la energía potencial es un operador. El hecho de que actúe simplemente como una multiplicación escalar no significa que no sea un operador. Recordemos que un operador es un mapa de funciones a funciones y $\psi \mapsto V(x)\psi$ es llevar una función a una función.

Creo que la raíz de tu malentendido está en pensar que $\hat{p}=-i\hbar\partial_x$ y $\hat{x}=x$ son de alguna manera fundamentales. Pero no lo son.

Podemos escribir el hamiltoniano que está utilizando como simplemente

$$ \hat{H} = \frac{\hat{p}^2}{2m} + V(\hat{x}) $$

En este punto, no hemos dicho nada sobre lo que $\hat{p}$ y $\hat{x}$ parecen. Lo único que requerimos en realidad es que satisfagan su relación de conmutación $$ [\hat{x}, \hat{p}] = i\hbar $$ Una opción que satisfará esto es la habitual que ya has utilizado para escribir tu ecuación de Schrodinger ( $\hat{p} = -i\hbar\partial_x$ y $\hat{x}=x$ ). Pero esta no es la única opción. También podríamos elegir \begin{align} \hat{p}=p && \hat{x}=i\hbar\partial_p \end{align} y esto es igual de válido. Pero sospecho que entonces dirías que la energía cinética parece que no es un operador. Tomemos por ejemplo el Hamiltoniano del oscilador armónico en esta representación: $$ \hat{H} = \frac{p^2}{2m} - \frac{m\omega^2 \hbar^2}{2}\frac{\partial^2}{\partial p^2} $$ Esto actúa sobre la función de onda del espacio de momento $\tilde{\psi}(p)$ pero ahora la energía cinética sólo actúa por multiplicación escalar en lugar de la energía potencial.

Answer 3

En el espacio de las funciones, probablemente estés acostumbrado a que las constantes (funciones constantes) siempre den como resultado algún número real/complejo (más generalmente, un elemento del campo de tierra), independientemente de la(s) entrada(s) de la función. Las funciones toman elementos del campo terreno (que suelen ser números reales/complejos) a elementos del campo terreno.

Ejemplo: $f(t) =$ número real/complejo constante para cualquier entrada (admisible) $t$ .

En el espacio de los operadores (envío de funciones a funciones), las "constantes" ya no son números. Las "constantes" son funciones . Así que un operador constante enviará la(s) función(es) de entrada a (la(s) función(es) dada(s) por el operador) "actuando sobre" la(s) función(es) de entrada. Los operadores de energía potencial y de posición son constantes en el espacio de los operadores. Es decir, les da igual la función sobre la que se actúe con ellos, respectivamente (para ser un poco más riguroso, estoy suponiendo, por supuesto, que la función de entrada está en el dominio del operador).

Ejemplo: $\hat{V}(\psi(x)) = V(x)\psi(x)$ para cualquier entrada (admisible) $\psi(x)$ . $V(x)$ puede ser una función constante en sí misma, o no.

Ejemplo: $\hat{x}\psi(x) = x\psi(x)$ .