Dejemos que $\mathscr{G}\subset\mathscr{F}$ ser dos $\sigma$ -algebras. Es fácil ver que el operador de expectativa condicional $$E[\,\cdot \mid\mathscr{G}]\in \mathscr{L}(L^1(\mathscr{F}))$$ satisface $\|E[\,\cdot \mid\mathscr{G}]\|_{\mathscr{L}(L^1)}\le 1$ . Entonces para $f\in L^1(\mathscr{F})$ , si $$\|E[f \mid\mathscr{G}]\|_{L^1}=||f||_{L^1}$$ ¿tenemos $f\in L^1(\mathscr{G})$ ? ¿Y en $L^p(\mathscr{F})$ , para $p\neq 2$ ?
Respuesta
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Si $f$ es integrable y no negativo, tenemos $$\left\lVert\mathbb E\left[f\mid\mathcal G\right]\right\rVert_1=\mathbb E\left[\mathbb E\left[f\mid\mathcal G\right]\right]=\mathbb E\left[f\right]=\lVert f\rVert_1.$$ En general, si $\left\lVert\mathbb E\left[f\mid\mathcal G\right]\right\rVert_1=\lVert f\rVert_1$ entonces podemos decir que $$\lVert f\rVert_1 =\left\lVert\mathbb E\left[f\mid\mathcal G\right]\right\rVert_1 \leqslant \left\lVert\mathbb E\left[|f|\mid\mathcal G\right]\right\rVert_1=\lVert f\rVert_1.$$ Desde $\left|\mathbb E\left[f\mid\mathcal G\right]\right|\leqslant \mathbb E\left[|f|\mid\mathcal G\right]$ deducimos (a partir del hecho de que $g\geqslant 0, \int g=0\Rightarrow g=0$ a.s.) que $$\left|\mathbb E\left[f\mid\mathcal G\right]\right|= \mathbb E\left[|f|\mid\mathcal G\right].$$ Esto no significa que $f$ es no negativo o $\mathcal G$ -Medible. Pero esto es así si $f=hg$ , donde $h$ es no negativo e independiente de $\mathcal G$ y $g$ es $\mathcal G$ -Medible.
