Una variedad riemanniana cerrada de curvatura seccional no positiva con $\pi_1 (M)$

Question

Dejemos que $ \left( M,g \right)$ sea una variedad riemanniana cerrada de curvatura seccional no positiva $K \leq 0$ . ¿Existe entonces una variedad con un grupo fundamental finito $\pi_1 \left(M \right)$ . Sé que si nuestro colector es compacto y $K < 0$ entonces por el teorema de Preissman su grupo fundamental no necesita contener ningún subgrupo abeliano.

Answer 1

Por el teorema de Cartan-Hadamard, una variedad con una métrica completa de curvatura seccional no positiva tiene cobertura universal difeomorfa a $\mathbb{R}^{n}$ . Si $M$ es compacto esto implica que $\pi_{1}(M)$ es infinito, ya que actúa sobre $\mathbb{R}^{n}$ con un espacio cociente compacto.