Si decimos que un instante de tiempo no tiene duración, ¿por qué una suma de instantes da lugar a algo que tiene duración? Me cuesta entenderlo.
Considero que un instante es un "momento" del tiempo. Por tanto, la suma de muchos instantes daría lugar a un periodo de tiempo finito (por ejemplo, 10 minutos).
EDITAR: Ya que recibí tantas buenas respuestas, me preguntaba, si alguien también puede dar un ejemplo ilustrativo, además de las matemáticas puras ? Solo por curiosidad...
Creo que preguntas por una paradoja al estilo de Paradojas de Zenón . Tu paradoja es muy parecida a la 'Paradoja del grano de mijo'. Quieres saber cómo una suma infinita de instantes infinitesimales puede equivaler a una longitud finita de tiempo, $$ \int~\mathrm dt = t. $$ Bueno, lo anterior no es más que $$ \int~\mathrm dt =\lim_{N\to\infty} \sum_{n~=~1}^N t/N = t, $$ Ésta, y muchas de las paradojas de Zenón, se resuelven comprendiendo el cálculo y las sumas infinitas.
Si decimos que un instante de tiempo no tiene duración,
Efectivamente, no tiene duración, por definición. La palabra "instante" no tiene aquí ningún significado físico especial. Significa lo mismo que etiquetar con un número unas coordenadas X/Y regulares en una hoja de papel.
Una coordenada de este tipo (ya sea en el espacio o en el tiempo) es algo fundamentalmente distinto de un intervalo entre dos coordenadas de este tipo: la coordenada no tiene longitud, mientras que un intervalo sí la tiene. La coordenada ni siquiera tiene longitud 0, tiene no longitud definida.
¿por qué una suma de instantes suma algo que tiene una duración?
Aquí es donde se le engaña. Los "instantes" (es decir, las coordenadas) no se suman. Intervalos sumando sus longitudes. Pero la operación de "sumar instantes (coordenadas)" no es una operación útil aquí porque los instantes (coordenadas) no tienen longitud, por lo que no hay nada que sumar.
N.B.: si quieres informarte sobre las matemáticas "reales" que hay detrás de esto, consulta las integrales de Rieman, la teoría de la medida, "contablemente infinito", "casi en todas partes" y términos similares. Hay un mundo fascinante detrás de lo que has descubierto.
N.B.: como se menciona en los comentarios, por supuesto que se pueden sumar "instantes" (es decir, intervalos de longitud 0), pero sólo contablemente muchos, y una suma de contablemente muchos 0 sigue siendo 0. En la formulación perezosa de mi último párrafo, esto se tiene en cuenta.
Quizás sea útil aquí diferenciar entre un tiempo específico (como en una representación unidimensional de un instante específico o ubicación en el tiempo) y una duración, que es la medida de la diferencia entre dos tiempos concretos.
En este caso, lo que usted denomina un "instante" sumable puede referirse en realidad a un delta de duración, por ejemplo el Tiempo de Planck -llamado así por el físico Max Plank, que es la cantidad de tiempo que tarda un fotón en recorrer la Longitud de Planck, que según physlink.com es
aproximadamente igual a $1.6 × 10^{-35}m$ o sobre $10^{-20}$ veces el tamaño de un protón
Lo que hace que la duración del Tiempo de Planck sea igual a
aproximadamente $10^{-44}$ segundos
Ofrezco esta explicación simplemente como un interesante añadido a la respuesta ya aceptada, que creo que probablemente responde mejor a su pregunta.
Frases como "instante de tiempo" son delicadas. Si no se tiene cuidado, se puede caer en la trampa de preguntas pedantes como "¿qué significa 'es'?", que no hacen más que frustrar a la gente. Tienes una buena pregunta, pero prepárate para que las respuestas sean un poco más esquivas de lo que te gustaría.
Una de las principales claves de la cuestión está en la respuesta de AnoE. AnoE establece una distinción entre un instante de tiempo y un intervalo de tiempo. Esta distinción es muy útil porque los intervalos de tiempo tienden a comportarse bastante bien en nuestra mente. Nos sentimos muy cómodos con la idea de que 2 intervalos de 1 segundo, puestos de extremo a extremo, son un intervalo de 2 segundos. Entonces podemos añadir otro intervalo de 1 segundo a nuestro intervalo de 2 segundos para obtener 3 segundos. 3 y 1 pueden hacer 4, y así sucesivamente. Aquí no hay nada sospechoso. Incluso podemos postular que este proceso puede continuar "para siempre", aunque no tengamos una definición muy sólida de "para siempre" con la que trabajar. Ninguno de nuestros conceptos se ha demostrado nunca que se extienda hasta "para siempre", ¡porque nadie ha vivido tanto tiempo!
¿Y en la otra dirección? Si tengo un intervalo de 2 segundos, puedo subdividirlo en un par de intervalos de 1 segundo. Puedo tomar uno de ellos y dividirlo en un intervalo de 0,5 segundos. Eso se puede dividir en intervalos de 0,25 segundos y así sucesivamente. Parece que se puede repetir este proceso, al igual que podríamos repetir la adición de intervalos, hasta que lleguemos a intervalos arbitrariamente pequeños.
Pero, ¿qué ocurre si vamos más allá? Qué pasa si seguimos subdividiendo hasta que los intervalos sean "infinitamente pequeños". Resulta que tengo que poner "infinitamente pequeños" entre comillas porque resulta muy difícil asignar a ese concepto un significado matemático exacto. La paradoja de Zenón fue mencionada por innisfree. Se trata de la idea de que, si intentara caminar de un punto a otro, primero tendría que recorrer la mitad de esa distancia, y luego podría intentar caminar hasta el punto final. Sin embargo, una vez que llego al punto final, también tengo que recorrer la mitad del camino entre ese punto medio y el punto final (un punto de tres cuartos). Puedes repetir este proceso para demostrar que me llevaría un número infinito de pasos llegar hasta ti. Zenón argumentó que eso significa que nunca se puede llegar a ninguna parte.
Por supuesto, cualquier persona mayor de 3 años señalará que Zenón está equivocado. Vamos a sitios. Ocurre (o al menos lo parece, si eres un individuo hiperescéptico). Así que debe haber algo mal en el argumento. La verdad del asunto es que Zenón no estaba en realidad sugiriendo que somos incapaces de movernos, estaba señalando un problema fundamental con la forma en que conceptualizamos el mundo que nos rodea. Señalaba que nuestros modelos sugieren que el mundo actúa de una manera que, evidentemente, no es así.
Aquí se ven muchas respuestas matemáticas porque los matemáticos fueron realmente los únicos que se enfrentaron al infinito de una forma lo suficientemente rigurosa como para tener que preocuparse por la paradoja de Zenón. La mayoría de la gente podía decir simplemente "oh, funciona porque... vemos que funciona todos los días". Las matemáticas y la realidad no están divorciadas, ¡pero a veces parece que están separadas! A cosas como la paradoja de Zenón las llaman "supertareas". Son tareas que requieren un número infinito de pasos para completarse.
Y los matemáticos se pusieron a analizar estas supertareas. Durante cientos de años, crearon herramientas increíblemente potentes. Para este tema en particular, el Cálculo es la coronación de sus esfuerzos. El cálculo es una forma muy rigurosa de manejar estos números infinitos. Y lo que es más importante, es un ejemplo de cómo las matemáticas y la realidad coinciden: ¡las hipótesis planteadas mediante el cálculo tienen un excelente historial de ser demostrables en la vida real!".
Y así tenemos herramientas para capturar formalmente estos conceptos de un "instante de tiempo". Incluso podemos agregarlos en intervalos utilizando una herramienta de cálculo llamada "integrales". Sin embargo, cuando lo hagamos, veremos una ecuación como $\int f(t)dt$ donde f(t) es el valor de f en "un instante de tiempo". Sin embargo, no podemos ignorar la parte "dt" de esa integral. Es la notación que mantenemos para recordarnos cómo el cálculo maneja realmente los intervalos. Puedes pensar en "dt" como un "intervalo infinitamente corto", siempre y cuando sólo lo hagas formalmente. Tiene un significado formal muy particular que es ligeramente diferente. Sin embargo, la clave de todo esto es que tu intuición se alinee con lo que realmente hacen las matemáticas. Cuando caminas hacia algún sitio, ¡realmente llegas allí!
Así que será muy difícil encontrar un ejemplo no matemático de sumar instantes de tiempo en algo que tenga una duración, porque es muy difícil captar el concepto de "un instante de tiempo" con la suficiente formalidad como para hablar de sumarlos fuera de las matemáticas. No conozco ningún otro campo que tenga un nivel de rigor suficiente para explorar realmente este concepto. La filosofía podría, aunque su enfoque puede ser muy diferente.
Te recomiendo dos vídeos de vsauce si quieres aprender más. Es mi forma favorita de aprender matemáticas, especialmente conceptos complicados como infinitos e infinitivos.
Ya que he recibido tantas respuestas estupendas, me preguntaba si alguien puede dar también un ejemplo ilustrativo, además de las matemáticas puras.
Lo que buscas es un infinitesimal y por qué son útiles. El cálculo y la integración dicen que si sumas un número infinito de trozos infinitesimales de una cosa, obtendrás el área de la cosa. Resulta que realmente útil para calcular cosas que cambian como curvas o aceleración.
Un infinitésimo es la idea de que para cualquier $a < b$ siempre hay un $c$ donde $a < c < b$ . Siempre se puede encajar un número entre otros dos.
Del mismo modo, puedes dividir cualquier número en trozos cada vez más pequeños.
Puedes seguir haciéndolo infinitas veces y obtendrás un número infinitamente pequeño: un infinitésimo.
¡Pero no es 0! Es el número más pequeño posible que no es 0. Si los sumas todos obtienes el original. Eso es integración. Eso es cálculo.
¡Pero no es un número! No existe en ningún lugar de la recta numérica. Como el infinito, un infinitésimo es un concepto . Y como no es un número, las cosas se ponen raras si intentas hacer cuentas normales con él.
Así que un instante de tiempo tiene una duración . Tiene una duración infinitesimal. Es la porción más pequeña de tiempo que no es 0.
Aquí está el Dr. James Grime de Numberphile hablando de infinitesimales y demostrando su uso.
También recomiendo encarecidamente Un recorrido por el cálculo por David Berlinski. Adopta un enfoque literario de la historia y la finalidad del Cálculo. Incluso después de haber cursado años de pre-cálculo y cálculo, me proporcionó una comprensión y apreciación más profundas.
Esa es la matemática, pero esto es Física.SE. ¿Cómo funciona esto en la realidad? ¿Se puede tener un "instante de tiempo"? AFAIK no hay límite a cómo el tiempo puede ser cortado en rodajas finas. Incluso el Tiempo de Planck no pone límites a lo pequeño que puede ser un "instante de tiempo". No conocemos ningún cuántico de tiempo. Y sin embargo, aquí estamos.
Para saber más sobre la física del tiempo y por qué tenemos tiempo, puede que le interese La serie en curso de MinutePhysics sobre Tiempo y Entropía .
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Sin preocupaciones, sin dolores de cabeza. Porque no hay pruebas, ni siquiera a altas resoluciones, de ningún indicio de naturaleza discreta en el tiempo.
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Compárese con la geometría euclidiana, en la que los segmentos de línea de longitud finita se componen de puntos sin dimensión.
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Creo que debe ser un error decir "un instante no tiene duración", cuando queremos decir que la duración de un instante es infinitamente pequeña y no se puede percibir.
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" Por tanto, la suma de muchos instantes daría lugar a un periodo de tiempo finito. " muchos es infinito en este contexto. Eso cambia mucho. Es como preguntar cuántos puntos hay en un segmento de línea. O cuán grande es un punto. Cuando dos inifinidades se encuentran ocurre la "magia". Son conceptos matemáticos, y hay que entender cómo se trasladan esos conceptos a la realidad física. La cantidad infinita de platos infinitamente pequeños no se puede trasladar prácticamente al mundo físico, pero son útiles como conceptos intermedios, que nos permiten hacer predicciones al respecto.
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Es una buena pregunta, pero difícil de responder. Uno de los principales problemas es que palabras como "momento" e "instante" son pequeños bichos raros que han dado problemas a los filósofos durante miles de años. El cálculo se desarrolló en torno a herramientas cuya única función es dar respuesta a tu pregunta. Quizá te convenga añadir a la pregunta qué tipo de fundamentos filosóficos o matemáticos te parecen razonables para construir las respuestas.
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-1 Esta no es una pregunta útil, y no es una pregunta sobre física. Instante" y "momento" no tienen definición en física. Véase Definiciones científicas de "momento (de)" e "instante" ... Esta es sólo otra versión de la vieja pregunta : ¿Qué ocurre cuando una fuerza irresistible se encuentra con un objeto inamovible? Esto es filosofía, no física.