¿Existe una colección definible (en la teoría de conjuntos de Zermelo Fraenkel con elección) de conjuntos no medibles de reales de tamaño continuo? De manera más verborreica: ¿Existe una clase A = {x: \phi (x)} tal que ZFC demuestra que "A es una colección, de tamaño continuo, formada por subconjuntos de reales no medibles por Lebesgue"?
Respuestas
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(Edit.) Al leer más detenidamente tu pregunta, veo que pedías una noción muy específica de definibilidad.
Si se permite que la familia tenga un tamaño mayor que el continuo, hay un Sí respuesta. A saber, sea phi(x) la afirmación "x es un conjunto no medible de reales". En cualquier modelo de ZFC, esta fórmula define una familia de conjuntos no medibles de reales, y no es difícil demostrar en ZFC que hay al menos un número continuo de tales conjuntos (por ejemplo, como en el comentario de Qiachu Yuan). Así, ZFC demuestra que {x | phi(x)} es una familia de conjuntos no medibles de tamaño al menos continuo.
Pero si usted insiste en que la familia tiene el tamaño exactamente el continuo, como su pregunta dice claramente, entonces esta respuesta trivial no funciona. De hecho, ni siquiera se puede tomar la clase de todos los conjuntos de Vitali en este caso, ya que hay 2^continuum muchos conjuntos de reales que contienen exactamente un punto de cada clase de equivalencia para las traducciones racionales.
La sugerencia de Qiachu Yuan sobre las traducciones de un único conjunto Vitali tiene continuidad de tamaño, pero hay pocas razones para esperar que el conjunto Vitali sea definible de la manera que usted ha solicitado, y por lo tanto no proporciona la familia definible deseada.
En mi respuesta anterior, consideré la posibilidad de que te hubieras referido a alguna otra noción de definibilidad, o si se permiten parámetros en la definición, etc. Y considero que algunas de estas otras versiones de la pregunta son bastante interesantes y sutiles.
Señalé que seguramente es consistente con la ZFC que existe la familia definible deseada de conjuntos no medibles, ya que de hecho cualquier conjunto puede hacerse definible en una extensión forzada que no añade reales ni conjuntos de reales. Así que se puede tomar cualquier familia de conjuntos no medibles que se quiera y pasar a una extensión forzada en la que esta familia sea definible.
Tal vez una noción más fuerte de definibilidad sería utilizar la noción de definiciones proyectivas, donde uno quiere definir los conjuntos dentro de la estructura de los reales, utilizando la cuantificación sólo sobre los reales y los números naturales (en lugar de sobre todo el universo teórico de conjuntos). Así, queremos una fórmula proyectiva phi(x,z), tal que A_z={x | phi(x,z)} sea siempre no medible para cualquier z y todos los A_z sean diferentes. Tal fórmula sería un ejemplo fuerte del fenómeno que se busca.
La primera respuesta a esta forma de plantear la pregunta es que es consistente con ZFC que exista tal familia proyectiva. La razón es que he mencionado en una serie de preguntas y respuestas en este sitio, bajo el Axioma de Constructibilidad V=L, hay una ordenación bien definible proyectivamente de los reales. Así, bajo V=L, se puede definir proyectivamente un conjunto de Vitali, y luego tomar la familia de sus traslaciones. No hay necesidad de un parámetro en esta definición, ya que un conjunto particular de Vitali puede definirse proyectivamente sin parámetros a partir del buen ordenamiento proyectivamente definible de los reales.
La segunda respuesta a esta versión de la pregunta, sin embargo, es que bajo ciertos supuestos de la teoría de conjuntos, como la Determinación Proyectiva, todo conjunto proyectivo de reales es medible por Lebesgue. En este caso, no puede haber ninguna familia de conjuntos no medibles definida proyectivamente. La suposición de la DP es consistente con la ZFC de los cardinales grandes, pero quizás se necesite una hipótesis mucho más débil simplemente para conseguir que todo conjunto proyectivo sea medible.
En resumen, si uno quiere una familia proyectivamente definible de conjuntos no medibles, entonces es independiente de ZFC, si los cardinales grandes son consistentes. (Tal vez se pueda reducir la necesidad de grandes cardinales).
Peter Humphries
Puntos
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Lo siguiente aparece en On definability of non measurable sets, Harvey Friedman, Canadian Journal of Mathematics, Vol. 32, No. 3, 1980.
Dejemos que $M$ sea el modelo de Solovay para $ZF + DC + V = L(R) +$ todo conjunto de reales es medible por Lebesgue, etc. Sea $\kappa$ sea un cardinal regular de cofinalidad mayor que $\omega_1$ en $M$ . Entonces forzando con funciones parciales contables de $\kappa$ a $2$ da un modelo $N$ que satisface la elección y la afirmación "Todo conjunto definible, con parámetros ordinales y reales, de conjuntos de reales de tamaño inferior al continuo tiene sólo conjuntos medibles de Lebesgue".
