Cálculo de la unión e intersección de una familia de conjuntos

Question

Supongamos que nos dan para todo $n \in \mathbb{N}$

$$X_n = \{ (x,y) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R} : n^2 \leq x^2 + y^2 \leq (n+1)^2 \}$$

Estoy tratando de calcular $\bigcup_{n \in \mathbb{N} } X_n$ y $\bigcap X_n$

Mi intento: Intentaba dibujar los distintos anillos para distintos valores de $n$ . Ciertamente, encuentro que $\bigcup X_n$ debe ser todo el plano, ya que este anillo sigue expandiéndose a medida que $n$ crece.

En cuanto a la intersección, sólo sería el anillo más pequeño. Es decir $\bigcap X_n = \{ (x,y) : 1 \leq x^2 + y^2 \leq 4 \}$ .

Mi pregunta es: ¿Cómo puedo demostrar esto de forma rigurosa? gracias

Answer 1

Atención si $0\notin \Bbb N$ entonces la unión no es todo el plano sino todo el plano sin la bola unitaria abierta inducida por el 2-normas $\|\cdot\|_2$ (es decir $\{(x,y)\mid x^2+y^2< 1\}$ ).

Estrategia general para una prueba rigurosa:

• Para el sindicato: Tome un vector $(x,y)$ en la región que crees que es la unión y demostrar que existe $n$ tal que $(x,y)\in X_n$ . También hay que demostrar que cada $X_n$ está contenida en la región en cuestión.

• Para la intersección: elija $(x,y)$ en la región que crees que es la intersección y demuestre que $(x,y)\in X_n$ por cada $n\in \Bbb N$ . También hay que demostrar que la región en cuestión en contenida en cada $X_n$ .

Para su ejemplo particular:

• En cuanto a la unión: observe que $\|(x,y)\|_2\in\Bbb R$ por lo que siempre existe $n\in\Bbb N$ tal que $n\leq \|(x,y)\|_2\leq n+1$ .

• Para la intersección: ¿Qué se puede decir de $X_1\cap X_{10}\supset \bigcap_{n\in\Bbb N}X_n$ ?

Answer 2

Denote $\Lambda$ todo el plano, es decir $\Lambda = \{(x,y): x \in \mathbb{R}, y \in \mathbb{R}\}$ , entonces como se ha sugerido se muestra $\cup_{n \in \mathbb{N}} X_n=\Lambda \setminus D_1$ ( * ), mientras que $D_1 = \{(x,y): x^2+y^2 < 1\}$ . Tenemos: $X_n \subseteq \Lambda \setminus D_1, \forall n \geq 1 \Rightarrow \cup_{n \in \mathbb{N}} X_n \subseteq \Lambda \setminus D_1$ . Siguiente si $P = (x,y) \in \Lambda \setminus D_1$ , entonces dejemos que $n$ sea el menor número natural tal que $x^2+y^2 \leq n^2$ entonces tenemos..: $(n-1)^2 < x^2+y^2 \leq n^2 \Rightarrow P \in X_{n-1}\Rightarrow P \in \cup_{n \in \mathbb{N}} X_n\Rightarrow \Lambda \setminus D_1 \subseteq \cup_{n \in \mathbb{N}} X_n$ . Por lo tanto, ( * ) es válido.

Estoy seguro de que puedes hacer la otra parte de forma similar.