¿Cuál es la probabilidad de que un bote de bolas contenga un número par de bolas (o un número impar de bolas)?

Question

¿Cuál es la probabilidad de que un bote de bolas contenga un número par de bolas (o un número impar de bolas)?

(Estoy asumiendo que tiene un número arbitrario de bolas).

Yo creo que es el 50%, pero ¿cómo demostrarlo? ¿Cómo debo demostrar que los números pares e impares están distribuidos uniformemente en el universo?

O por decirlo de otra manera: Si un ordenador genera números enteros al azar, ¿se daría el caso de que el 50% de ellos fueran pares? ¿Y por qué?

Answer 1

La cuestión principal es que su pregunta no está bien definida. No existe un "número entero aleatorio". Cuando, en el habla cotidiana, utilizamos el término "aleatorio", suele significar "distribuido uniformemente". En este caso, significa que querrías que cada número entero ocurriera con la misma probabilidad, pero esto es imposible ya que hay (contablemente) infinitos, pero las probabilidades tienen que sumar 1.

Una forma de hacer esto riguroso es la siguiente. Tome un número entero "al azar" entre 1 y algún número entero grande $N$ . Es decir, para cada $k \in \{1,2,\dots,N\}$ la probabilidad de obtener $k$ es $1/N$ . Entonces

• si $N$ es par, la probabilidad de obtener un número par es $1/2$ ya que hay $N/2$ de $N$ números pares;
• si $N$ es impar, la probabilidad de obtener un número par es $(N-1)/(2N)$ ya que hay $(N-1)/2$ de $N$ números pares.

Pero $$ \lim_{N \to + \infty} \frac12 = \lim_{N \to + \infty} \frac{N-1}{2N} = \frac12, $$ y por lo tanto, como $N \to + \infty$ la probabilidad de que un número entero escogido uniformemente al azar entre 1 y $N$ tiende a $1/2$ . Informalmente, esto podría interpretarse como "la probabilidad de que un número aleatorio sea par es $1/2$ ".