La función $g(x) = (x − x_0)f(x)$ es diferenciable en $x_0$ para $f$ continuo

Question

Dejemos que $f$ sea continua, pero no necesariamente diferenciable, en $x_0$ . Demostrar que la función $g$ definido por $g(x) = (x x_0)f(x)$ es diferenciable en $x_0$ .

Veo claramente que utilizar la regla del producto sería inútil.

Answer 1

Basta con utilizar la definición de límite de la derivada. Configurando $g(x) = (x - x_0)f(x)$ , tenga en cuenta que $g(x_0) = 0$ . Entonces tenemos que

\begin{align*} g'(x_0) &= \lim_{h\to 0} {\frac{g(x_0 + h) - g(x_0)}{h}} \\ &= \lim_{h\to 0} {\frac{hf(x_0 + h)}{h}} \\ &= \lim_{h\to 0} {f(x_0 + h)} = f(x_0) \end{align*}

Desde $f$ es continua.

Answer 2

Considera lo siguiente. Por definición de la derivada en $x_0$ :

$$ g'(x_0) = \lim_{h\to 0} \frac{(x_0 + h - x_0)f(x_0+h) - (x_0 - x_0)f(x_0)}{h} $$

entonces, cancelando los términos

$$ \begin{align} &= \lim_{h\to 0} \frac{(x_0 - x_0)f(x_0+h) + hf(x_0+h) - (x_0 - x_0)f(x_0)}{h} \\ &= \lim_{h\to 0} \frac{0f(x_0+h) + hf(x_0 +h) - 0f(x_0)}{h}\\ &= \lim_{h\to 0} \frac{hf(x_0+h)}{h}\\ &= \lim_{h\to 0} f(x_0+h) \end{align} $$

continuidad le da el resultado final.