Conectado a la ruta y topología

Question

Hola a todos. Estoy un poco confundido sobre la pregunta 12.2 y 12.3.

Creo que basta con decir en la pregunta 12.3 que si eliminamos un punto de $X \times Y$ entonces $X \times Y$ seguirá estando conectada por un camino, pero si eliminamos un punto de R, entonces R no estará conectada por un camino. ¿Es suficiente para responder a la pregunta 12.3 o debería haber más?

Entonces sobre la pregunta 12.2 no sé realmente cómo hacer?

Answer 1

Desde $2$ se responda en los comentarios, daré por hecho que está probado.

Supongamos que $\mathbb R \cong A \times B=X$ . Claramente $A \times B$ es un camino conectado, y en particular, también lo son $A,B$ ya que las proyecciones sobre cada factor $\pi_1(X)=A$ y $\pi_2(X)=B$ son ambos continuos, deducimos que $A,B$ están conectadas por un camino.

Eliminar algún punto $(p,q)$ de $X$ y por $12.2$ , esto sigue siendo camino conectado, pero entonces la imagen de las proyecciones son $\mathbb R\setminus \{p\}$ y $\mathbb R\setminus \{q\}$ están desconectados, una contradicción.

Nótese que en la última parte, el primer supuesto de $12.3$ es esencial.