Hola a todos. Estoy un poco confundido sobre la pregunta 12.2 y 12.3.
Creo que basta con decir en la pregunta 12.3 que si eliminamos un punto de $X \times Y$ entonces $X \times Y$ seguirá estando conectada por un camino, pero si eliminamos un punto de R, entonces R no estará conectada por un camino. ¿Es suficiente para responder a la pregunta 12.3 o debería haber más?
Entonces sobre la pregunta 12.2 no sé realmente cómo hacer?
Desde $2$ se responda en los comentarios, daré por hecho que está probado.
Supongamos que $\mathbb R \cong A \times B=X$ . Claramente $A \times B$ es un camino conectado, y en particular, también lo son $A,B$ ya que las proyecciones sobre cada factor $\pi_1(X)=A$ y $\pi_2(X)=B$ son ambos continuos, deducimos que $A,B$ están conectadas por un camino.
Eliminar algún punto $(p,q)$ de $X$ y por $12.2$ , esto sigue siendo camino conectado, pero entonces la imagen de las proyecciones son $\mathbb R\setminus \{p\}$ y $\mathbb R\setminus \{q\}$ están desconectados, una contradicción.
Nótese que en la última parte, el primer supuesto de $12.3$ es esencial.
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Para el 12,2 discute exactamente como si estuvieras en un cuadrado menos el centro: Para conectar $(a,b)$ a $(c,d)$ Primero, siga $(\gamma(t),b)$ de $(a,b)$ a $(c,b)$ utilizando una ruta $\gamma$ que conecta $a$ a $c$ en $X$ . A continuación, siga $(c,\delta(t))$ de $(c,b)$ a $(c,d)$ . Lo único que puede evitar esto es que $b=y$ y $\gamma$ pasa a través de $x$ . A continuación, utilice $\delta$ y $\gamma$ en el orden inverso. Para el 12.3 ese es el argumento, sí.
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Para el 12.2, una ruta de $(a,b)$ a $(c,d)$ podría ser a lo largo de $(a,b)\to (a,d)\to (c,d)$ o a lo largo de $(a,b)\to (c,b)\to (c,d)$ . Al menos uno permite evitar $(x,y)$ .
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Hola usuario517969 - Estoy un poco confundido acerca de cómo debo elegir (t) y (t)?
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Si $f:A\to B$ es un homeomorfismo y $a\in A$ entonces $P^B_{f(a)}=f(P^A_a). $ Así que con $A=\Bbb R$ y $B=X\times Y,$ su enfoque del 12.3 es correcto, aplicando el 12.2, como en la A de Andrés Mejía.