Deduciendo $\pi$ es irracional por la forma de un polinomio en $\pi$ .

Question

Para cada número entero no negativo $n$ dejar $I_n(\theta)=\int^1_{-1}(1-x^2)^ncos(\theta x) dx$ . Demostrar que ${\theta}^2I_n=2n(2n 1)I_{n-1}4n(n1)I_{n-2}$ para todos $n\ge2$ y por lo tanto, que ${\theta}^{2n+1}I_n(\theta)=n!(P_n(\theta)sin()+Q_n(\theta)cos(\theta))$ para algún par $P_n$ y $Q_n$ de polinomios de grado máximo $2n$ con coeficientes enteros.

Deduce que $\pi$ es irracional.

He hecho la mayor parte de la pregunta, pero estoy luchando con la deducción final. He puesto $\theta=\pi$ para obtener $\pi^{2n+1}I_n(\pi)+n!Q_n(\pi)=0$ , esto es claramente un polinomio en $\pi$ de grado $2n+1$ con coeficientes enteros. Estaba pensando que podría ayudar a mostrar que $I_n(\pi)$ es irracional, pero más allá de esto no estoy seguro.

Gracias

Answer 1

Esto es La prueba de Cartwright de la irracionalidad de $\pi$ . Poner $\theta=\frac\pi2$ y obtener $$ \theta^{2n+1}I_n(\theta)=n!P_n(\theta).\tag1 $$ Si $\theta=\frac ab$ es racional, entonces reordenando (1) se obtiene $$ {a^{2n+1}\over n!}I_n(a/b) = b^{2n+1}P_n(a/b).\tag2 $$ Obsérvese que el lado derecho de (2) es un número entero, ya que $P_n$ tiene un grado como máximo $2n$ . Ahora mira el LHS. Observe que $I_n(a/b)$ se encuentra entre $0$ y $2$ para cualquier $n$ (ya que el integrando es positivo y está acotado por $1$ ), mientras que la expresión $a^{2n+1}/n!$ se hace arbitrariamente pequeño a medida que $n\to\infty$ . Por lo tanto, para un tamaño suficientemente grande $n$ hemos encontrado un número entero entre $0$ y $1$ una contradicción.