Necesito una referencia o una breve prueba para la siguiente propiedad:
Un trivial conectado localmente compacto grupo de $G$ contiene un infinito abelian subgrupo.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Voy a suponer, además, que el $G$ es Hausdorff (de lo contrario la afirmación es claramente falso). A continuación, la declaración es un corolario directo de la siguiente
Teorema (Yamabe y Gleason). Deje $G$ estar conectada localmente compacto Hausdorff grupo. A continuación, para cada vecindario $U$ $1\in G$ existe un compacto normal subgrupo $K<G$, por lo que el $K\subset U$ $L=G/K$ es isomorfo (como un grupo topológico) a un (necesariamente conectado) se encuentran en grupo.
Ver este post en Terry Tao del blog para el debate Y-G teorema. Tenga en cuenta que, como Tao observa, no hay necesidad de tomar el subgrupo $G'$ porque se asume que el $G$ está conectado.
Ahora, teniendo en cuenta esto, tomamos nota de que, sin pérdida de generalidad, $L$ es trivial (tomando $U$ lo suficientemente pequeño). Conectado a un trivial Mentira grupo siempre contiene un infinito subgrupo cíclico $Z$ (ver Neal del comentario). Ahora, tome un generador de $z\in Z$ y deje $g\in G$ ser su preimagen bajo el epimorphism $G\to L$. A continuación, el subgrupo $<g>$ generado por $g$ es un infinito subgrupo cíclico de $G$.
