Sobre un nuevo tipo de sistema de congruencia.

Question

Si $A\equiv B\pmod m$ entonces m|(A-B). ¿Y si se utiliza una congruencia de 2 coordenadas donde $C\equiv D\pmod {m,n}$ entonces existe R,S tal que (C-D) = m R+n S, donde R y S son coprimos y |mR+nS| > gcd(m,n). Por tanto, si $A\equiv B\pmod {m,n}$ entonces $A^2\equiv B^2\pmod {m,n}$ . ¿Es ésta una extensión útil de las congruencias? (Si $A\equiv B\pmod {m,n}$ entonces $Ar\equiv Br\pmod {m,n}$ )

Answer 1

El conjunto de enteros de la forma $\{ Rm + Sn : R,S \in \mathbb{Z} \}$ consiste en todos los múltiplos enteros de $g=\mathrm{gcd}(m,n)$ . De hecho, desde que $g$ divide ambos $m$ y $n$ divide cualquier entero de la forma $Rm+Sn$ . Lo contrario se deduce del hecho bien conocido de que $g = Rm+Sn$ para algunos enteros $R,S$ . Puede ver las pruebas en este Página de Wikipedia .

Como conclusión, obtenemos que $a \equiv b \pmod{m,n}$ si $a \equiv b \pmod{\mathrm{gcd}(m,n)}$ .