Si $A$ tiene valores propios $\lambda_1, \lambda_2$ entonces $\lambda_1 \lambda_2 \in \Bbb R$

Question

Comprueba si la siguiente afirmación es verdadera o da un contraejemplo para demostrar que es falsa.

Si $A$ es un $2 \times 2$ matriz con entradas reales con valores propios $\lambda_1$ y $\lambda_2$ entonces $\lambda_1\cdot\lambda_2$ es siempre real.

Estoy bastante seguro de que lo entiendo, y de que es cierto, sólo que no estoy seguro de cómo demostrarlo.

Answer 1

Hay soluciones por encima. Yo ofrecí otra solución:

Sabemos que para el valor propio $\lambda_1$ y el vector propio $x_1$ , $$ A x_1 = \lambda_1 x_1$$ Si tomamos el complejo conjugado, tenemos $$ \overline{Ax_1} = \bar{A}\overline{x_1} = \overline{\lambda_1}\overline{x_1} = A\overline{x_1}$$ Si un valor propio es un número comnplejo, el conjugado $\bar{\lambda}$ es también el valor propio. Para $2\times 2$ o bien ambas son reales, o bien una es el conjugado complejo de la otra, por lo que $\lambda_1 \lambda_2 = \lambda_1 \bar{\lambda_1} = |\lambda_1|^2$

Answer 2

Prueba rápida de que el determinante es el producto de los valores propios: Escribe $$\det(A-x I) = (\lambda_1 - x)(\lambda_2 - x) \cdots (\lambda_n - x),$$ donde $A$ es un $n\times n$ matriz. (Es decir, factorizar el polinomio característico para obtener los valores propios.) Sustituyendo $x=0$ , $$\det A = \lambda_1 \cdot \lambda_2 \cdot \cdots \cdot\lambda_n.$$

Answer 3

Dejemos que $\chi = ax^2 + bx + c$ sea el polinomio característico de $A$ . Entonces $\chi$ es con coeficientes reales. Usando la fórmula cuadrática, $$ x = \frac{-b\pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $$ para que $\lambda_1$ es el conjugado de $\lambda_2$ y su producto es real.

No sé si se puede utilizar el siguiente hecho o no, pero facilita esta pregunta: El producto de los valores propios de una matriz es el determinante.

Answer 4

Si $A$ matriz 2x2 la ecuación característica es

$\lambda^2 - trace(A)\lambda + \det(A)$ y si A tiene entradas reales entonces es un polinomio de dos grados con coeficientes reales. Y $\lambda_1\lambda_2 = \det A.$