Cómo utilizar los intervalos de confianza para encontrar la verdadera media dentro de un porcentaje

Question

Estoy trabajando en un problema de práctica para mi tarea de Stats. Estamos utilizando intervalos de confianza para encontrar un rango dentro del cual se encuentra la media real. Tengo problemas para entender cómo encontrar el tamaño de la muestra necesaria para estimar la media real dentro de algo así como +- 0,5%.

Entiendo cómo trabajar el problema cuando el rango se da como un número, como +- 0,5 mm. ¿Cómo puedo manejar los porcentajes?

Answer 1

No estoy seguro de qué tipo de variable se está auditando, así que doy 2 alternativas:

1. Para poder calcular el tamaño de muestra necesario para dar una estimación aceptable a un variable continua (= intervalo de confianza dado) tienes que conocer algunos parámetros: media, desviación estándar (y para ser precisos: tamaño de la población). Si no los conoces, tienes que ser capaz de dar una estimación precisa de los mismos (basándote, por ejemplo, en investigaciones realizadas en el pasado). $$n=\left(\frac{Z_{c}\sigma}{E}\right)^2,$$ donde $n$ es el tamaño de la muestra, $Z_{c}$ se elige de una tabla de distribución normal estándar basada en $\alpha$ y $\sigma$ es la desviación estándar.

2. Podría imaginar que la variable que se examina es un discreto uno, y el intervalo de confianza muestra cuántos porcentajes de la población van a elegir una categoría en función de la muestra (proporción). De este modo, el tamaño de la muestra necesaria puede calcularse fácilmente con: $$n=p(1-p)\left(\frac{Z_{c}}{E}\right)^2$$ donde $n$ es el tamaño de la muestra, $p$ es la proporción en la población, $Z_{c}$ se elige de una tabla de distribución normal estándar basada en $\alpha$ y $E$ es el margen de error.

Nota: también puede encontrar muchas calculadoras en línea ( Por ejemplo ). Vale la pena leer este artículo también.

Answer 2

Parece un poco impar para este problema, porque no parece haber una estadística pivote o si la hay, no es la estadística Z o T habitual.

He aquí por qué creo que esto es así.

El problema de estimar la media de la población, digamos $\mu$ hasta dentro de $\pm $ El 0,5% depende obviamente del valor de $\mu$ (una estadística fundamental NO dependería de $\mu$ ). Para estimar $\mu$ dentro de una cantidad absoluta, digamos $\pm $ 1, es independiente del valor real de $\mu$ (en el caso de distribución normal). Dicho de otro modo, la anchura del intervalo de confianza estándar "Z" no depende de $\mu$ sólo depende de la desviación estándar de la población, por ejemplo $\sigma$ , el tamaño de la muestra n, y el nivel de confianza, expresado por el valor Z. Se puede llamar a la longitud de este intervalo $ L=L(\sigma,n,Z)=\frac{2 \sigma Z}{\sqrt{n}} $

Ahora queremos un intervalo que sea $0.01 \mu $ de ancho (la misma longitud a cada lado de $\mu$ ). Así que la ecuación requerida que necesitamos resolver es:

$ L=0.01 \mu=\frac{2 \sigma Z}{\sqrt{n}} $

Reordenando para n se obtiene

$ n = (\frac{2 \sigma Z}{0.01 \mu})^2 = 40,000 Z^2 (\frac{\sigma}{\mu})^2 $

Utilizando Z=1,96 para tener un IC del 95% se obtiene

$ n = 153,664 * (\frac{\sigma}{\mu})^2 $

Para ello se necesita una información previa sobre la relación $\frac{\sigma}{\mu}$ (con "información previa" me refiero a que hay que saber algo sobre la relación $\frac{\sigma}{\mu}$ para resolver el problema). Si $\frac{\sigma}{\mu}$ no se conoce con certeza, entonces el "tamaño óptimo de la muestra" tampoco puede conocerse con certeza. La mejor manera de proceder a partir de aquí es especificar una distribución de probabilidad para $\frac{\sigma}{\mu}$ y luego tomar el valor esperado de $(\frac{\sigma}{\mu})^2$ y poner esto en la ecuación anterior.

¿Qué ocurre si sólo exigimos $\pm 0.005 $ (en lugar de $\pm 0.005 \mu$ ) es que $\mu$ en las ecuaciones anteriores para n desaparece.