El valor de la integral de la curvatura de un haz de líneas complejo

Question

Estoy tratando de demostrar que si $L \to M$ es un haz de líneas complejo dotado de una conexión $\nabla$ , $F$ es la forma de curvatura, y $S \in M$ una superficie cerrada, entonces $\int \limits _S F \in 2 \pi \textrm i \Bbb Z$ . Por desgracia, estoy cometiendo algunos errores tontos que me dan $\int \limits _S F = 0$ . (Se sabe que $\textrm d F = 0$ .)

Método I

Dejemos que $D_3 \subset M$ sea alguna submaniferia tridimensional tal que $S = \partial D_3$ . Entonces $\int \limits _S F = \int \limits _{\partial D_3} F = \int \limits _{D_3} \textrm d F = \int \limits _{D_3} 0 = 0$ .

Método II

Dejemos que $D_2 \subset S$ sea un pequeño disco cerrado tal que deba estar incluido en algún dominio de trivialización. Entonces $F = \textrm d A$ en $D_2$ para algunos $A$ (la forma de conexión local). Sea $C_2 = \overline {S \setminus D_2}$ y $c = \partial D_2 = - \partial C_2$ . Entonces $\int \limits _S F = \int \limits _{D_2} F + \int \limits _{C_2} F = \int \limits _{D_2} \textrm d A + \int \limits _{C_2} \textrm d A = \int \limits _c A + \int \limits _{-c} A = 0$ .

¿En qué me equivoco? (Lo sorprendente es que parece que soy capaz de cometer dos errores diferentes, ¡uno para cada método!)

Answer 1

I) No se puede encontrar tal $D_3$ . Ha demostrado correctamente que si puede la integral es cero. Si pudieras encontrar tal $D_3$ la superficie sería nula; pero hay muchas superficies no nulas (por ejemplo $\Bbb{CP}^1 \subset \Bbb{CP}^2$ ).

II) Su prueba sólo funciona si $A$ se define a ambos lados de la curva, de modo que $F=dA$ globalmente. Pero si esto fuera cierto, entonces la integral sería cero.