Existe un isomorfismo $f$ tal que para cada $k \in K \,$ , $f(k) k^{-1} \in H$ .

Question

Dejemos que $G=H \times K$ y $G=H \times L$ sean dos descomposiciones del grupo $G$ en sus subgrupos normales. Demostrar que existe un isomorfismo $f: K \longrightarrow L$ tal que para cada $k \in K$ tenemos $f(k) k^{-1} \in H$ .

Nota: En la situación descrita en la pregunta, sabemos que $K \cong L$ y $G/H \cong K$ .

Answer 1

Tenga en cuenta que para cualquier $k\in K$ tenemos $(1,k)\in H\times K$ y esto se puede escribir de forma única como $(h,l)\in H\times L$ . Ahora mapeamos $k$ a $l$ . Se trata de un homomorfismo ya que $(1,k_1k_2)=(1,k_1)(1,k_2)=(h_1,l_1)(h_2,l_2)$ así que $k_1k_2$ mapas a $l_1l_2$ . Entonces es inyectiva ya que si $x \mapsto 1_L$ entonces $x=(h,1_L)$ Así que $x\in H$ lo que implica que $x=(h,1_K)\in K$ por lo que el núcleo es trivial. Es sobre, ya que si $l\in L$ y $l=h^{-1}k$ para algunos $h\in H$ , $k\in K$ entonces $k=hl$ lo que implica $k\mapsto l$ como se desee. Tenga en cuenta que $f(k)=l$ tal que $l=hk$ para algunos $h$ Así que $f(k)k^{-1}=h\in H$ .

Answer 2

Cada elemento $k$ de $K$ puede escribirse como $k=hl$ para un único $h\in H$ , $l\in L$ , defina $\phi:K\to L$ como $\phi(k)=l$ donde $l$ satisfacen la relación anterior, en este caso

$$\phi(k)k^{-1}=lk^{-1}=h^{-1}\in H\ \ .$$

¿No es $\phi$ ¿un isomorfismo?.