Funciones en $L^p(\mathbb{R}^n)$ son distribuciones templadas.

Question

Cómo demostrar que las funciones en $L^p(\mathbb{R}^n),1 \leq p \leq \infty$ son distribuciones templadas.

Answer 1

Dejemos que $f\in L^p(\mathbb{R}^n)$ . La distribución canónica correspondiente a $f$ se define por $d_f:\mathcal{S}(\mathbb{R}^n)\rightarrow \mathbb{C}$ , $g\mapsto \int_{\mathbb{R}^n} fg$ .

Ahora comprueba que $d_f$ es un elemento de $\mathcal{S}^\prime(\mathbb{R}^n)$ . Está claro que es un mapa lineal. Así que queda por comprobar la continuidad. En concreto, tenemos que comprobar que

$$\|d_f\|_{\mathcal{S}^\prime(\mathbb{R}^n)}=\sup_{\|g\|_{\mathcal{S}}=1} \left|\int_{\mathbb{R}^n} fg\right|<\infty$$

Pero dejemos que $g$ sea una función Schwartz de norma Schwartz $1$ . Entonces es en todo $L^p$ espacios, en particular en $L^q$ con $1/p+1/q=1$ por lo que la afirmación se deduce por la desigualdad de Hölder:

$$\int_{\mathbb{R}^n} |fg| \le \|f\|_p \|g\|_q<\infty$$

Answer 2

Si $f\in L^p(\mathbb R^n)$ y $\varphi\in\mathscr S(\mathbb R^n)$ entonces $$ \ell(\varphi)=\int_{\mathbb R^n}f\,\varphi, $$ es definible, ya que $f\varphi\in L^1(\mathbb R^n)$ , como $\varphi\in L^q(\mathbb R^n)$ para todos $p$ , y $$ \lvert \ell(\varphi)\rvert\le\|\varphi\|_{p'}\|\,f\|_p, $$ donde $\frac{1}{p}+\frac{1}{p'}=1$ .

Todas las demás propiedades son sencillas.