¿Cómo puedo demostrar que una función es impar?

Question

Tengo un problema de cálculo y puedo calcularlo.

El problema es

$\iiint_V x^5 y^7 z^9 dxdydz$ , donde $V = \{ (x, y, z) : x^2 + y^2 + z^2 \leq 1 \}$ .

Y la solución es 0. Esta solución es exactamente correcta. Si quieres puedo mostrar toda mi solución.

Lo he resuelto mediante coordenadas polares.

Pero he oído que si prueban $\iiint_V x^5 y^7 z^9 dxdydz$ = - $\iiint_V x^5 y^7 z^9 dxdydz$ (porque $x^5y^7z^9$ es impar ft),

No necesito calcularlo.

Si alguien sabe cómo puede probarlo por favor ayúdeme.

No tengo ni idea, cómo se puede iniciar ..

Answer 1

Una función $f(t)$ es impar cuando $f(-t)=-f(t)$ . En este caso $t=(x,y,z)$ . Así que sólo tienes que demostrar que

$$-f(t)=-\int\int\int_{V}x^{5}y^{7}z^{9}=\int\int\int_{V}(-x)^{5}(-y)^{7}(-z)^{-9}=f(-t)$$

Lo que debería seguir inmediatamente al comenzar.

Answer 2

Intente pensar en una sola dimensión: funciona igual que en tres. Si le interesa $\int_{-1}^1x^5dx$ se puede calcular mediante la técnica habitual de $\int_{-1}^1x^5dx=\frac 16x^6|_{-1}^1=\frac 16(1^6-(-1)^6)=0$ Alternativamente, se puede observar que $x^5$ es impar y dice $\int_{-1}^1x^5dx=\int_{-1}^0x^5dx+\int_{0}^1x^5dx=\int_{0}^1(-x)^5dx+\int_{0}^1x^5dx=0$ donde el último paso es esencialmente el $u$ sustitución $u=-x$ La forma intuitiva de ver esto es que el bit de $x$ a $x+dx$ se contrarresta con el bit de $-x-dx$ a $-x$

En su problema 3D, podría reflejar a través de cualquiera de los planos de coordenadas o a través del origen ya que su función es impar en cada variable por separado.

Answer 3

Sólo hay que tener en cuenta esto, se puede escribir la integral como

$$ I=\int_{-1}^{1}x^5dx\int_{-\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{1-x^2}}y^7\,dy\int_{-\sqrt{1-x^2-y^2}}^{\sqrt{1-x^2-y^2}}z^9\,dz. $$

Ahora, puedes ver que cada integral es una integral de una función impar sobre un intervalo simétrico.