¿Es la respuesta $4^5$ o $4 \times 5 \times 6 \times 7 \times 8$?
La razón detrás de $4 \times 5 \times 6 \times 7 \times 8$ es que el primer anillo tiene cuatro opciones, el segundo anillo tiene $5$ opciones, ya que el segundo anillo puede ir debajo del primero, y así sucesivamente.
Creo que $4^5$ es correcto ya que $4 \times 5 \times 6 \times 7 \times 8$ está contando demasiadas posibilidades.
Cinco anillos idénticos se pueden colocar en cuatro dedos (usando Stars and Bars) de $\binom{5+4-1}{4-1}=\binom{8}{3}$ formas.
Como los anillos no son idénticos, luego se pueden permutar en $5!$ formas.
Entonces la respuesta es:
$$\binom{8}{3}5!=\frac{8!}{3!}=4\cdot5\cdot6\cdot7\cdot8$$.
Lo cual resulta ser $P(8,5)$, interpretado como:
Elija 5 letras de ABCDEFGH. El resto son las barras, la selección se mapea alfabéticamente a 12345 para los anillos.
@Bulbasaur Imagina colocar los anillos en los cuatro dedos de abajo a la izquierda a arriba a la derecha. El orden en el que aparecen los anillos en los dedos importa.
La razón por la que es P(8,5) es similar a "stars and bars" - con 5 estrellas para los anillos, 3 barras para dividir los 4 dedos - pero con las estrellas etiquetadas A-E, en lugar de ser idénticas como en el clasico "stars and bars". Las posibles combinaciones son exactamente las formas de colocar las 5 estrellas etiquetadas entre los 8 espacios, es decir P(8,5). Por ejemplo, "anillo B en el dedo 1, anillos EA en el dedo 2, anillos DC en el dedo 4" corresponde a la disposición B|EA||DC.
Aparentemente, cada dedo no necesita tener un anillo, y en este contexto, $4\cdot5\cdot6\cdot7\cdot8$ es realmente correcto.
Una forma fácil de entender desde los diagramas a continuación donde $F$ representa dedo, $R$ anillo y considerando que un anillo está unido al dedo de su derecha, inicialmente tenemos
$-F-F-F-F$ y el primer anillo tiene $4$ lugares para ser insertado
Al insertar un anillo en uno de los espacios, obtenemos, por ejemplo, $-F-F-R-F-F$
lo cual muestra claramente que ahora hay $5$ espacios para el siguiente anillo
También intenta colocar el siguiente anillo al lado de un anillo colocado, $-F-F-R-R-F-F$
y observa que ahora hay $6$ espacios para el siguiente anillo
Cada vez que colocas un anillo en cualquier lugar, se crea un espacio adicional,
por lo tanto, la respuesta es $4\cdot5\cdot6\cdot7\cdot8$
Tu solución es muy ingeniosa. Creo que $4 \times 5 \times 6 \times 7 \times 8$ es efectivamente correcto. La lógica es sólida.
Para responder a tu pregunta, no hay doble conteo. Si hubiera doble conteo, habría dos caminos que producirían el mismo resultado. Pero si cada anillo se coloca secuencialmente en el orden relativo correcto como sugiere tu método original, cualquier camino alternativo crearía dos anillos en un orden relativo incorrecto. Y agregar más anillos no cambiará ese orden relativo incorrecto.
$4^5$ es la respuesta correcta, pero a una versión alterada del problema, a saber:
Dada una secuencia predeterminada de cinco anillos que deben ponerse en ese orden, ¿cuántas formas hay de usarlos en cuatro dedos?
En este problema, tenemos exactamente una forma de elegir cada anillo sucesivo: tomamos el siguiente elemento de la secuencia predeterminada.
Sin embargo, algunas configuraciones no son posibles bajo esta restricción. Por ejemplo, si se nos pide poner los anillos en orden ABCDE, significa que nunca podemos producir una configuración en la que el anillo E esté cubierto por otro anillo que se haya puesto después de él. Dado que E se coloca al final, es el anillo más exterior del dedo al que va.
El problema original no tiene esta restricción: los anillos se eligen en cualquier orden. Entonces, cuando nos ponemos el primer anillo, no solo tenemos la opción de cuatro dedos, sino de cinco anillos. Luego elegimos entre cuatro anillos, tres, dos y uno.
Pero no todas las elecciones de anillos producen configuraciones únicas. Dadas secuencias de uso de anillos diferentes como ABCDE y BACDE, aún podemos producir fácilmente una configuración idéntica. Bajo ambos órdenes, por ejemplo, podemos poner A en el dedo índice, B en el dedo medio, y CDE en el meñique. La permutación de los anillos proporciona algunas configuraciones adicionales, pero no de manera trivial.
Es bastante sorprendente que el resultado sea simplemente un producto ascendente ordenado de 4 a 8.
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
1 votos
¿Por qué el segundo anillo tiene 5 opciones? (Pregunta extra: ¿los dedos usan los anillos, o los anillos usan los dedos?)
1 votos
@Gae.S. Entiendo el pensamiento de Ayush aquí. El "segundo" anillo no es necesariamente el segundo anillo que te pones, sino, después de haber puesto los anillos, el segundo que consideras. El primer anillo puede ir en cualquiera de $4$ dedos. El segundo puede ir en cualquiera de $4$ dedos, pero también tiene la opción de estar "debajo" (es decir, entre el 1er anillo y el nudillo). Y la ubicación del 3er anillo también depende entonces de su ubicación relativa con respecto a los primeros 2. El pensamiento del OP va en la dirección correcta, y 4x5x6x7x8 es más probable que sea correcto que $4^5$, que no tiene en cuenta la colocación relativa.
0 votos
@Gae.S. (cont'd) colocaciones relativas de los anillos en los propios dedos reales. (Y por supuesto, un dedo debe tener al menos 2 anillos, por el principio del cajón de palomas. Pero es complicado demostrar que realmente es 4x5x6x7x8, y voy a tener que irme a pensar al respecto.
0 votos
Esto puede ayudar math.stackexchange.com/questions/3379068/…