Un anillo noetheriano es auto-inyectivo si y sólo si todos los proyectivos son inyectivos

Question

Dejemos que $R$ sea un anillo noetheriano de izquierda y derecha. Trato de demostrar que las dos afirmaciones siguientes son equivalentes.

1. $R$ es inyectiva como una izquierda $R$ -Módulo

2. Toda la izquierda proyectiva $R$ -Los módulos son inyectivos

En mi clase, el anillo noetheriano izquierdo (derecho) se define de tal manera que cualquier ACC en el ideal izquierdo(derecho) se detiene en algún punto. También, $A$ es inyectiva si para cualquier inyectiva $f:X \to Y$ y el homomorfismo $g:X \to A$ existe $h: Y \to A$ tal que f $\circ h=g$ .

Todavía no tengo idea de cómo aplicar la condición ACC en esos homomorfismos. ¿Podríais ayudarme? Cualquier pista o respuesta sería muy apreciada.

Answer 1

La implicación $(2)\implies(1)$ es obvio, porque $R$ es proyectiva como $R$ -módulo.

La otra dirección se suele demostrar de forma indirecta; el teorema a utilizar es el siguiente:

Las siguientes condiciones en el anillo $R$ son equivalentes:

1. $R$ es noetheriano de izquierdas
2. Toda suma directa de la izquierda inyectiva $R$ -es inyectiva

(sólo se necesita una implicación de este teorema).

Recordemos también que un sumando de un módulo inyectivo (resp. proyectivo) es inyectivo (resp. proyectivo) y que un módulo proyectivo es un sumando de un módulo libre.