$K=Q(\sqrt{d} ) , d<0 $ , $\Gamma $ un subgrupo aritmético de $G=SU(2,1)(K)$ . Es $\cup_{g\in G}(g^{-1}\Gamma g)$ denso en G para la topología compleja?
Respuesta
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Desde $SU(2,1)(K)$ es denso en $H=SU(2,1)({\mathbb C})$ (como en su pregunta anterior ), basta con considerar la densidad en $H$ de la unión de $H$ -conjugados de su subgrupo aritmético $\Gamma$ . Ahora, voy a pensar en $H$ como real grupo algebraico de Lie. Todos los subgrupos aritméticos de $H$ se obtienen (hasta la conmensurabilidad y dividiendo por el centro finito) tomando representaciones lineales (polinómicas) $\phi: H\to GL(n, {\mathbb R})$ y luego tomar $\phi^{-1}(GL(n, {\mathbb Z}))$ . Como la sustitución de un grupo por otro conmensurable no afecta a la densidad, podemos suponer también que $\Gamma=\phi^{-1}(GL(n, {\mathbb Z}))$ . Ahora, si se consideran los polinomios característicos de los elementos de $\phi(\Gamma)$ como sugiere Mrc Plm, entonces todos tienen coeficientes enteros (a diferencia de los polinomios característicos de elementos de $\phi(H)$ ). Así, la unión $$ \bigcup_{h\in H} \phi(h \Gamma h^{-1}) $$ no puede ser denso en $\phi(H)$ Por lo tanto, $$ \bigcup_{h\in H} h \Gamma h^{-1} $$ no puede ser denso en $H$ o bien.
En realidad, es más cierto. Dejemos que $H$ sea un grupo de Lie semisimple real, $\Gamma\subset H$ sea un entramado. Entonces el conjunto $$ C:=\bigcup_{h\in H} h \Gamma h^{-1} $$ no puede ser denso en $H$ . La prueba en el caso aritmético se explica más arriba. En el caso no aritmético, podemos suponer que $H$ tiene rango 1 (por el teorema de aritmeticidad de Margulis y comprobando que el caso de los entramados reducibles se reduce a entramados en grupos de Lie simples de rango 1). Consideremos ahora una secuencia de elementos $\gamma_n\in \Gamma$ y sus longitudes de traslación $L_n=L(\gamma_n)$ en el espacio simétrico asociado $X=H/K$ . Afirmo que la secuencia $L_n$ (hasta una subsecuencia) es constante o diverge al infinito. De hecho, si dicha secuencia no contiene elementos iguales y está acotada, entonces, la correspondiente secuencia de geodésicas cerradas $\beta_n\subset M=\Gamma\backslash X$ (representado por los elementos $\gamma_n$ y teniendo de largo $L_n$ ), subconvertirá (por el teorema de Arzela-Ascoli y la descomposición gruesa de $M$ ) a una geodésica cerrada, lo cual es imposible. Dado que las longitudes de traslación de los elementos de $\Gamma$ se conservan por conjugación a través de elementos de $H$ y como el conjunto de longitudes de traslación de los elementos de $H$ es igual a ${\mathbb R}_+$ se deduce que $C$ no puede ser denso en $H$ .
