Para la primera $p \ge 5$ existe un $n$ con $2 \le n \lt p -1$ con $[n]$ una raíz primitiva de la unidad de $(\mathbb{Z}/{p^2}\mathbb{Z})^\times$ .

Question

Dejemos que $p$ sea un primo que satisfaga $p \ge 5$ .

¿Es cierto lo siguiente?

Existe un número entero $n$ Satisfaciendo a

$\quad 2 \le n \lt p -1$
$\quad \text{The residue class } $ [n] $ \text{ generates the multiplicative group } (\mathbb{Z}/{p^2}\mathbb{Z})^\times$
$\quad$ (es decir $[n]$ es una raíz primitiva de la unidad)

Si la afirmación es cierta, hay una pregunta de seguimiento,

¿Existe un número primo que pueda ser elegido para $n$ ?

Mi trabajo

He estado "jugando" con la teoría de números hasta el punto de que esto es ahora una "cosa segura" intuitiva, pero todo puede ser desmontado con un contraejemplo. Como, de ser cierta, la respuesta podría estar implicada, he añadido el solicitud de referencia etiqueta. También he añadido la etiqueta de conjetura, pero la eliminaré si resulta insostenible por los comentarios que reciba.

Answer 1

Bien, he descubierto el caso general. Sin embargo, voy a dejar mi otra respuesta.

Recordemos que $\mathbb{Z}/p^2\mathbb{Z}^\times \cong C_{p(p-1)} \cong C_p \times C_{p-1}$ .

En particular, cada raíz primitiva $\alpha$ mod $p$ tiene exactamente un ascensor $\hat{\alpha}$ mod $p^2$ que no es primitivo, y corresponde al que vive en el $\{e\} \times C_{p-1}$ subgrupo en el isomorfismo anterior. Podemos ver de esto que si $\hat{\alpha}$ es un mod primitivo $p$ pero no mod $p^2$ que su inversa multiplicativa mod $p^2$ (que es $\hat{\alpha}^{p-2}$ en este caso) también es primitivo mod $p$ pero no mod $p^2$ .

Bien, ahora supongamos que $\alpha < p$ es una raíz primitiva mod $p$ pero no $p^2$ . Considere el número único $\beta < p$ tal que $\alpha \beta \equiv 1$ mod $p$ . Afirmo que $\beta$ debe ser una raíz primitiva mod $p^2$ . Supongamos que no, entonces $\beta$ debe ser la inversa de $\alpha$ mod $p^2$ ya que existe un único elemento no primitivo congruente con $\beta$ mod $p$ y conocemos la inversa de $\alpha$ es uno. Sin embargo, desde $\alpha < p $ y $\beta < p$ tenemos que $\alpha \beta < p^2$ por lo que no es posible que sean inversos.

Answer 2

Esta es una prueba para cuando $p \equiv 1 \ (\text{mod } 4)$ :

Primero hay que tener en cuenta que si $p \equiv 1 \mod 4$ entonces $\alpha$ es una raíz primitiva mod $p$ si $-\alpha$ es. Supongamos que $(-\alpha)^b \equiv 1$ para algunos $b < p-1$ . Si $b$ eran incluso entonces tendríamos $\alpha^b \equiv 1$ , lo cual es una contradicción ya que $\alpha$ es primitivo. Si $b$ eran impar entonces $\alpha^b \equiv -1$ , lo que sólo ocurre cuando $b = \frac{p-1}{2}$ pero eso no es impar ya que $p \equiv 1 \ (\text{mod } 4)$ .

Bueno, ahora vamos a ver mod $p^2$ . Afirmo que si $\alpha < p$ es una raíz primitiva mod $p$ entonces al menos uno de $\alpha$ o $p-\alpha$ es un mod primitivo $p^2$ .

Desde $\alpha$ y $p-\alpha$ son primitivos mod $p$ , entonces mod $p^2$ son primitivos o tienen orden $p-1$ . Supongamos que tenemos que ambos $\alpha^{p-1}$ y $(p-\alpha)^{p-1}$ son congruentes con $1$ mod $p^2$ . Expandiendo esto con el teorema del binomio obtenemos:

$$1 \equiv (p-\alpha)^{p-1} \equiv -\binom{p-1}{1}pa + \alpha^{p-1} \equiv -(p-1)p\alpha +1$$

Lo que significa $(p-1)p\alpha$ es divisible por $p^2$ pero eso es una contradicción ya que $p$ es primo y $\alpha < p$ .