existencia de una medida de probabilidad borel sobre $[0,1]$ tal que $\int f d\mu=\lim_{k\to\infty}\frac {1} {N_k} \sum_{i=1}^{N_k}f(x_i)$ secuencia dada

Question

Hola, estoy muy apestado con esto, ¡realmente apreciaría si alguien puede ayudarme con esto!

demostrar que para $\{x_i\}\subseteq[0,1]$ hay $1\le N_1<N_2...$ y una medida de probabilidad $\mu$ en $([0,1],\cal B_{[0,1]})$ tal que para cualquier $f\in C([0,1])$ tenemos $\int f d\mu=\lim_{k\to\infty}\frac 1 N_k \sum_{i=1}^{N_k}f(x_i)$

pista: establecer una secuencia densa $\{f_n\}\subseteq C([0,1])$ y utilizar un argumento diagonal para encontrar tal $N_k$ Entonces, utilice el teorema de la representación de Riesz

así que intenté diferentes cosas para encontrarlas $N_k$ Una vez que los consiga, será fácil demostrar que el límite es un funcional lineal y utilizar el teorema de la representación de Riesz.

Answer 1

No estoy seguro de lo que quiere decir con $C_c([0,1])$ pero puede utilizar $C[0,1]$ . Dejemos que $f_j$ sea una secuencia densa en $C[0,1]$ (siendo éste un espacio de Banach separable).

La secuencia $\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n f_1(x_i)$ está acotada, por lo que para alguna secuencia creciente $N(1,1), N(1,2), N(1,3), \ldots$ de enteros positivos, $\frac{1}{N(1,n)} \sum_{i=1}^{N(1,n)} f_1(x_i)$ converge. Tomemos una subsecuencia $N(2,1), N(2,2), N(2,3), \ldots$ de esto tal que $\frac{1}{N(2,n)} \sum_{i=1}^{N(2,n)} f_2(x_i)$ también converge (es decir, cada $N(2,j)$ es algo $N(1,k)$ con $k \ge j$ ), y continuar así. La secuencia diagonal $N(1,1), N(2,2), N(3,3), \ldots$ tiene la propiedad de que $\frac{1}{N(k,k)} \sum_{i=1}^{N(k,k)} f_j(x_i)$ converge para todo $j$ .

Answer 2

$$f \mapsto \mu_n(f) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n f(x_i)$$ es una medida de probabilidad. Así que tienes una secuencia de medidas de probabilidad $(\mu_n)$ y queremos demostrar que tiene una subsecuencia convergente (convergencia en la topología débil). Tomemos $(f_l)$ una densa familia en $C[0,1]$ .

Comience con $l=1$ .

La secuencia $(\mu_n(f_1))_{n\in \mathbb{N}}$ está limitada en valor absoluto por $||f_1||$ por lo que tiene una subsecuencia convergente indexada por $\mathbb{N}_1 \subset \mathbb{N}$ .

La secuencia $(\mu_n(f_2))_{n\in \mathbb{N}_1}$ está limitada por $||f_2||$ por lo que tiene una subsecuencia convergente indexada por $\mathbb{N}_2 \subset \mathbb{N}_1$ .

La secuencia $(\mu_n(f_3))_{n\in \mathbb{N}_2}$ está limitada por $||f_3||$ por lo que tiene una subsecuencia convergente indexada por $\mathbb{N}_3 \subset \mathbb{N}_2$ .

$\ldots$

y así sucesivamente. Obtenemos una secuencia de subconjuntos infinitos de $\mathbb{N}$ $$\mathbb{N} \supset \mathbb{N}_1 \supset \mathbb{N}_2 \supset \ldots$$ con la propiedad de que $$\mu_n(f_l)_{n\in \mathbb{N}_l}$$ es convergente.

Ahora existe $\tilde{ \mathbb{N}}$ un subconjunto infinito de $\mathbb{N}$ con la propiedad de que $$\tilde{ \mathbb{N}} \backslash \mathbb{N}_l$$ es finito para todo $l\ge 1$ . (así que para todos $l$ , $\tilde{ \mathbb{N}} \subset \mathbb{N}_l$ excepto para un número finito de elementos). Una forma de construir $\tilde{ \mathbb{N}}$ es la siguiente: en el paso $l$ añadir al conjunto el elemento más pequeño de $\mathbb{N}_l$ que no fue elegido antes (argumento de la diagonal de Cantor).

De lo anterior se deduce que

$$\mu_n(f_l)_{n\in \tilde{ \mathbb{N}}}$$

es convergente para todo $l$ .

Utilizando la densidad de $(f_l)_l$ es fácil demostrar que para cada $f \in C[0,1]$ la secuencia $$\mu_n(f)_{n\in \tilde{ \mathbb{N}}}$$ es convergente ( demuestre que es Cauchy).

Definir
$$\mu(f)\colon =\lim_{n\in \tilde{ \mathbb{N}}} \mu_n(f)$$

una función lineal positiva sobre $C[0,1]$ . Ahora utiliza el teorema de Riesz.