Encontrando $cdf$ del mínimo de la muestra, $X_{(1)}$

Question

Considere las variables aleatorias iid $X_1$ y $X_2$ , habiendo $pdf$ $$f_X(x) = 4(12x)I_{(0,1/2)}(x)$$ Dar el $cdf$ del mínimo de la muestra, $X_{(1)}$ .

$$\begin{align*} F_{X(1)}(x) &= P(X_{(1)} \leq x) \\\\ &= 1 - P(min{\{X_1, X_2}\} \gt x) \\\\ &= 1 - P(X_1 \gt x, X_2 \gt x) \\\\ &= 1 - P(X_1 \gt x)\cdot P(X_2 \gt x) \\\\ &= 1 - [1-F_X(x)]^2 \\\\ &= 1 - [1-\int4(1-2x)]^2 \\\\ &= 1 - [1-(4x-4x^2)]^2 \\\\ \end{align*}$$

¿He hecho esto correctamente?

Answer 1

Me parece bien:

Sólo una comprobación de base: $F(1/2) = 1$ y siempre que entienda que esto es válido para $x \in (0, 1/2)$ estamos bien. ¿Cuáles serían los valores de $F$ ser para el negativo $x$ y $x \ge 1/2$ ?