$\int_{S^1} \beta = 0 \Rightarrow \beta$ es el diferencial de una función. - ¿Esta prueba es legítima?

Question

Dejemos que $\beta$ sea una suave $1$ -formar en $S^1$ y $\int_{S^1} \beta = 0.$ Prueba $\beta$ es el diferencial de una función.

Realmente no tengo una pista para esta pregunta..

---

Intento seguir la pista de Anthony Carapetis:

Según la fórmula de cambio de variable en $\mathbb{R^k}$ , $$\int_{S^1} \beta = \int_0^{2\pi} \beta d\theta = 0.$$

Estoy tratando de seguir la pista de Anthony Carapetis invocando el Teorema Fundamental del Álgebra, sin embargo, me quedé atascado con la Fórmula de Cambio de Variable porque No estoy seguro de que todas las formas sean integrables.

Cambio de la variable en $\mathbb{R^k}$ . Supongamos que $f: V \to U$ es un difeomorfismo de conjuntos abiertos en $\mathbb{R^k}$ y $a$ es una función integrable en $U$ . Entonces $$\int_U a dx_1 \cdots dx_k = \int_V (a \circ f) |\det(df)|dy_1 \cdots dy_k.$$

Answer 1

Sugerencia: las funciones en $S^1$ son sólo funciones sobre $[0,1]$ que "coinciden" en los extremos. La declaración equivalente para $[0,1]$ (sin la condición integral) es sólo el Teorema Fundamental del Cálculo...

Answer 2

Integración de la suavidad $1$ -(automáticamente cerrada por razones de dimensión) en el círculo induce una $\mathbb R$ -mapa suryectivo lineal $$I:\Omega^1(S^1)=Z^1(S^1)\to \mathbb R:\beta\mapsto \int_{S^1}\beta$$ .
Pasando al cociente por el espacio vectorial $B^1(S^1)$ de la exactitud $1$ -produce un isomorfismo para el primer espacio vectorial de cohomología de De Rham: $$i:Z^1(S^1)/B^1(S^1)=H^1_{DR}(S^1)\stackrel {\cong}{\to} \mathbb R:[\beta] \mapsto \int_{S^1}\beta$$ .
Desde $i$ es en particular inyectiva, vemos que $\int_{S^1}\beta=0$ implica $[\beta] =0$ es decir $\beta$ es exacta.

Todo esto lo explica con exquisito detalle Loring Tu en su extraordinario libro Introducción a los colectores Uno de los libros de texto didácticos más fáciles de usar y más bonitos que he visto nunca.