¿Son estos "enunciados" trigonométricos iguales

Question

En mi libro de Cálculo tengo un enunciado:

$$\cos(2x) = \cos^2(x)-\sin^2(x)$$

y un par de filas más abajo otra declaración es:

$$ \cos(2x) = 2 \cos^2(x) - 1 = 1 - 2 \sin^2(x).$$

Ahora, cuando intento memorizar estos enunciados, escribo (una y otra vez para ver si me lo sé de memoria)

$$ \cos(2x) = \cos^2(x) - \sin^2(x) = 2 \cos^2(x)-1 = 1 - 2\sin^2(x). $$

¿Esto es algo legítimo de escribir? ¿Estoy usando mal el signo de igualdad?

Answer 1

Sí, está bien porque $ \cos^2(x) + \sin^2(x) = 1 $ .

Answer 2

Le recomiendo que recuerde un resultado cualquiera y que derive los otros dos a partir de ese y de la identidad $ \sin^2(x)+\cos^2(x) = 1 $

Recuerdo que $ \cos^2(x) - \sin^2(x) = 1 $ y se tarda muy poco en conseguir los otros dos e incluso el resultado en $ \tan^2(x) $ .

Esta es la mejor manera de memorizar los resultados trigonométricos. Y de todos modos, una vez que empieces a resolver preguntas, estas identidades se grabarán en tu subconsciente.

Answer 3

No estás usando mal el signo de igualdad.

Si un número $a$ es igual a $b$ , a $c$ y a $d$ siempre se puede escribir $a=b=c=d$ .

Así que como $\cos(2x)$ es igual a $\cos^2(x)-\sin^2(x)$ , a $2\cos^2(x)-1$ y a $1 - 2\sin^2(x)$ , entonces se puede escribir $$ \cos(2x) = \cos^2(x)-\sin^2(x) = 2\cos^2(x)-1 = 1 - 2\sin^2(x). $$

Answer 4

Tienes razón. En matemáticas, el signo de igualdad es transitivo, lo que significa que si $a = b$ y $b = c$ entonces $a = c$ que es exactamente lo que ocurre aquí. Realmente no cambia con $\sin x$ y $\cos x$ o cualquier otra función trigonométrica ya que son funciones de $\mathbb{R}$ a $\mathbb{R}$ , lo que significa que devuelven números reales.