Demostrar que la continuación de la fracción de tan(1)=[1;1,1,3,1,5,1,7,1,9,1,11,...]tan(1)=[1;1,1,3,1,5,1,7,1,9,1,11,...]. He intentado utilizar el mismo tipo de truco usado para encontrar fracciones continuas de cuadrática irrationals y tratando de encontrar una relación de recurrencia, pero que no parecen trabajar.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Utilizamos la fórmula dada aquí: Gauss constante fracción de tanztanz y ver que
tan(1)=11−13−15−…tan(1)=11−13−15−…
Ahora uso la identidad
1a−1x=1a−1+11+1x−11a−1x=1a−1+11+1x−1
Para transformar 1a−1b−1c−…1a−1b−1c−… a
1a−1+11+1b−2+11+1c−2+…1a−1+11+1b−2+11+1c−2+…
para obtener la expansión de tan(1)tan(1)
La mencionada ampliación de tan(1)tan(1) se convierte en
11−1+11+13−2+11+15−2+…11−1+11+13−2+11+15−2+…
=1+13−2+11+15−2+…=1+13−2+11+15−2+… =1+11+11+13+11+15+…=1+11+11+13+11+15+…
Para demostrar la transformación,
deje x=b−1c−…x=b−1c−…
Entonces
1a−1x=1a−1+11+1x−11a−1x=1a−1+11+1x−1 =1a−1+11+1b−1+1c−…=1a−1+11+1b−1+1c−…
La aplicación de la identidad de nuevo a
1b−1+1c−…1b−1+1c−…
vemos que
1a−1x=1a−1+11+1b−2+11+1c−1+1d−…1a−1x=1a−1+11+1b−2+11+1c−1+1d−…
Aplicando de nuevo a 1c−1+1d−…1c−1+1d−… etc da la necesaria CF.
