Demostrar que la continuación de la fracción de $\tan(1)=[1;1,1,3,1,5,1,7,1,9,1,11,...]$. He intentado utilizar el mismo tipo de truco usado para encontrar fracciones continuas de cuadrática irrationals y tratando de encontrar una relación de recurrencia, pero que no parecen trabajar.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Utilizamos la fórmula dada aquí: Gauss constante fracción de $\tan z$ y ver que
$$\tan(1) = \cfrac{1}{1 - \cfrac{1}{3 - \cfrac{1}{5 -\dots}}}$$
Ahora uso la identidad
$$\cfrac{1}{a-\cfrac{1}{x}} = \cfrac{1}{a-1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{x-1}}}$$
Para transformar $$\cfrac{1}{a - \cfrac{1}{b - \cfrac{1}{c - \dots}}}$$ a
$$\cfrac{1}{a-1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{b-2 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{c-2 + \dots}}}}}$$
para obtener la expansión de $\displaystyle \tan(1)$
La mencionada ampliación de $\tan(1)$ se convierte en
$$ \cfrac{1}{1-1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{3-2 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{5-2 + \dots}}}}}$$
$$ = 1 + \cfrac{1}{3-2 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{5-2 + \dots}}}$$ $$= 1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{3 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{5 + \dots}}}}}$$
Para demostrar la transformación,
deje $\displaystyle x = b - \cfrac{1}{c - \dots}$
Entonces
$$ \cfrac{1}{a-\cfrac{1}{x}} = \cfrac{1}{a-1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{x-1}}}$$ $$ = \cfrac{1}{a-1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{b-1 + \cfrac{1}{c - \dots}}}}$$
La aplicación de la identidad de nuevo a
$$\cfrac{1}{b-1 + \cfrac{1}{c - \dots}}$$
vemos que
$$\cfrac{1}{a-\cfrac{1}{x}} = \cfrac{1}{a-1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{b-2 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{c-1 + \cfrac{1}{d - \dots}}}}}}$$
Aplicando de nuevo a $\cfrac{1}{c-1 + \cfrac{1}{d - \dots}}$ etc da la necesaria CF.
