Ayuda integral definitiva

Question

Estoy trabajando en un problema de física y he llegado a la integral:

$$\int_0^\infty (a+b+x^2)^{-\frac{3}2} dx = \frac{1}{(a+b)}$$

Sólo trato de entender cómo se consigue esto. Porque la integral indefinida produce

$$x*(a+b)^{-1}*(a+b+x^2)^{-\frac{1}2}$$

Evaluando esto de 0 a $\infty$ para mí, da

$$\frac{\infty}{\sqrt{a+b+\infty^2}} - 0$$

Edición: he corregido mis cálculos

Answer 1

Dejemos que $t = \frac x{\sqrt{a+b}}$ para reexpresar la integral como

$$I=\int_0^\infty (a+b+x^2)^{-\frac{3}2} dx = \frac{1}{a+b} \int_0^\infty \frac{dt}{(1+t^2)^{3/2}}$$

Entonces, dejemos que $t=\sinh u$

$$I= \frac{1}{a+b} \int_0^\infty \frac{\cosh u}{\cosh^3 u}du =\frac{1}{a+b}\int_0^\infty \text{sech}^2 u\> du=\frac{1}{a+b}\tanh u|_0^\infty=\frac{1}{a+b}$$

Answer 2

La integral indefinida de $(C+x^2)^{-\frac{3}{2}}$ realmente es igual a $\frac{x}{C\sqrt{C+x^2}}$ . Si establecemos $C=a+b$ la respuesta coincidirá con la suya.

Supongo que en su planteamiento se perdió $x$ que viene de derivar $x^2$ dentro de los paréntesis.