Subconjunto cerrado e irreducible de una variedad afín

Question

Esta pregunta surgió cuando estoy leyendo el capítulo 6 y 7 de "A course in commutative algebra" de Kemper. dejemos que $K$ sea un campo algebraicamente cerrado y $X=\{(x_1,x_2)\in K^2|x_1x_2=0\}$ es una variedad afín. El libro reclamaba la altura del ideal máximo en el anillo de coordenadas $K[X]$ es 1, ya que el ideal máximo correspondiente a la subvariedad de un punto $\{x_0\}$ de $X$ y la cadena que comienza con $\{x_0\}$ de subconjuntos irreducibles de X tiene longitud 1. Estoy confundido con la última parte. ¿Podría alguien ofrecer alguna ayuda sobre por qué la cadena que comienza con $\{x_0\}$ de subconjuntos irreducibles de X tiene longitud 1? Gracias de antemano.

Answer 1

Desde $K$ es un dominio integral, $x_1x_2=0$ implica $x_1=0$ o $x_2=0$ . Así que $X=\{(x_1,0), (0,x_2)\mid x_1,x_2\in K\}$ . Entonces, por ejemplo $Y_1=\{(x_1,0)\mid x_1\in K\}$ es una subvariedad y entonces tenemos la cadena $Y_0=\{(0,0)\}\subset Y_1 \subset X$ de longitud 1.