En primer lugar, algunos antecedentes: Dado un álgebra de Lie simple $\mathfrak{g}$ sobre un campo algebraicamente cerrado de característica 0 como $\mathbb{C}$ , fije una descomposición de Cartan $\mathfrak{g} = \mathfrak{h} \oplus \sum_\alpha \mathfrak{g}_\alpha$ . Aquí $\mathfrak{h}$ es una subálgebra de Cartan y la suma pasa por las raíces $\alpha$ de $\mathfrak{g}$ en relación con $\mathfrak{h}$ . Además, se puede fijar un conjunto de raíces simples, que conducen a raíces positivas y negativas. Entonces, una base de $\mathfrak{h}$ puede elegirse para que esté formada por coros de raíces simples. Todo esto se determina hasta la conjugación bajo el grupo adjunto y conduce a varias opciones compatibles para una base del módulo adjunto $\mathfrak{g}$ incluyendo un vector base para cada espacio raíz unidimensional $\mathfrak{g}_\alpha$ . Se comprendió muy pronto que una elección cuidadosa conduciría a constantes de estructura en $\mathbb{Q}$ .
El documento de Chevalley de 1955 En algunos grupos individuales fue un paso más allá, mostrando de manera uniforme cómo producir una base sobre $\mathbb{Z}$ cuyas constantes de estructura están determinadas unívocamente hasta el signo por los datos de la raíz. (Algunas preguntas sobre MO se refieren a este tipo de Base de Chevalley por ejemplo aquí .) Por supuesto, la notación difiere mucho en la literatura.
En un artículo de 1966, Tits aquí creó un algoritmo para la elección coherente de los signos. Aquí se dio cuenta de que el producto de conmutación convencional $[X_\alpha X_{-\alpha}] = H_\alpha$ funciona mejor si se escribe con factores invertidos. Su documento fue contemporáneo de SGA 3 . (Más recientemente, Demazure revisó el documento de Tits aquí junto con la Observación 6.7 en su Exp. XXIII de SGA 3).
El módulo adjunto para $\mathfrak{g}$ es un módulo simple de dimensión finita. Cada módulo de este tipo se caracteriza hasta el isomorfismo por su mayor peso (una vez que se fija un sistema de raíces simples), que en este caso es la única raíz mayor. Dado que un módulo simple típico tiene una estructura de espacio de pesos mucho más complicada que el módulo adjunto, durante mucho tiempo se pensó que no era posible una elección "canónica" de la base (incluso hasta los signos). Pero en 1990 Lusztig aquí demostró la existencia de una base canónica mediante un procedimiento indirecto que se especializa a partir de un álgebra envolvente cuantizada. Al principio esto se hace sólo para tipos de encaje simple, pero más tarde en general. La idea es mostrar la existencia de una base canónica en la parte del álgebra envolvente cuantizada correspondiente a las raíces positivas (o igualmente negativas), y luego aplicarla a un vector de menor (o mayor) peso en el módulo. Como indica Lusztig en su Ejemplo 3.4, el cálculo directo de su base canónica es posible en unos pocos casos de bajo rango, pero será extremadamente difícil en general.
Poco después, Kashiwara descubrió otro método basado en el uso de bases de cristal (que Lusztig demostró que era equivalente a su propio método); éste es expuesto por Jantzen en su libro de 1996 sobre la AMS Conferencias sobre grupos cuánticos .
No he podido encontrar en la literatura una discusión explícita de lo que ocurre en el caso especial del módulo adjunto, aunque la prueba del Lemma 9.6b) de Jantzen es sugerente. Parece que los expertos entienden que la base canónica produce una base de Chevalley hasta los signos. Mi pregunta básica es:
¿Existe una comparación publicada de la base canónica de Lusztig del módulo adjunto (una vez hechas las elecciones anteriores) con una base de Chevalley?
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Me gusta mucho esta pregunta. Puedo pedirle que recuerde la definición de el ¿módulo adjunto? No estoy familiarizado con esta terminología. Además, ¿te parece bien una respuesta parcial sólo para algunos álgebras de Lie, o es importante que la respuesta sea lo más general posible?
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Aquí utilizo "módulo" y "representación" en el mismo sentido, por lo que "módulo adjunto" significa simplemente la representación adyacente de $\mathfrak{g}$ en sí mismo. Cuando $\mathfrak{g}$ es simple, el módulo es simple (es decir, la representación es irreducible) con el mayor peso igual a la mayor raíz. No he visto este ejemplo discutido explícitamente en la literatura sobre bases canónicas, aunque el lema de Jantzen y los ejemplos de bajo rango de Lusztig pueden ayudar. La base canónica es un $\mathbb{Z}$ base de $\mathfrak{g}$ . También lo es una base de Chevalley (que tiene bonitas constantes de estructura para la acción adjunta).