Estoy confundido en cuanto a cómo si $\lim_{n\to\infty} | c_{n} / c_{n+1}|$ existe, entonces es igual al radio de convergencia de la serie de potencias $\sum_{n=0}^\infty c_{n}x^{n}$ ¿Cómo es esto?
Respuesta
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Considere la serie $\sum_{n=1}^\infty b_n$ y que $L = \lim_{n\rightarrow\infty} |b_{n+1}/b_n|$ . Por la prueba de la relación, la serie converge si $L < 1$ y diverge si $L > 1$ . La prueba no es concluyente si $L = 1$ o si el límite no existe. Consideremos ahora la serie de potencias $\sum_{n=1}^\infty c_n x^n$ . Por la prueba de la relación, esta serie converge si
$$ \lim_{n\rightarrow\infty} \left|\frac{c_{n+1}x^{n+1}}{c_nx^n}\right| = |x|\lim_{n\rightarrow\infty} \left|\frac{c_{n+1}}{c_n}\right| < 1 $$
Por lo tanto, suponiendo que $\lim_{n\rightarrow\infty} |c_{n+1}/c_n|$ existe y es $> 0$ la serie de potencias converge para todo $x$ que satisfagan
$$ |x| < \frac{1}{\lim_{n\rightarrow\infty} |c_{n+1}/c_n|} = R $$
Claramente, si el límite es cero entonces la serie converge para todo $x\in\mathbb{R}$ y el radio de convergencia se define como $\infty$ .
