Tengo que demostrar que
Si $M,N$ son $R$ -módulos y $M$ es noetheriano, $N$ está generada finitamente, entonces $M\otimes_R N$ es noetheriano
Dejamos que $S$ sea un submódulo no generado infinitamente de $M\otimes_R M$ . Luego hay elementos $$g_j=\sum_{i=0}^{n_j} m_{ji}\otimes n_{ji}$$ s.t. $$\left< g_1\right>\subsetneq \left< g_1,g_2\right>\subsetneq \dots$$ Sin embargo, si dejamos que $n_1,\cdots,n_N$ sea un conjunto generador de $N$ podemos escribir: \begin{align} g_j&=\sum_{i=0}^{n_j} m_{ji}\otimes n_{ji}\\ &=\sum_{i=0}^{n_j} m_{ji}\otimes\left( \sum_{k=1}^{N}c_{jik}n_k\right)\\ &=\sum_{k=1}^N\left(\sum_{i=0}^{n_j}c_{jik}m_{ji}\right)\otimes n_k \end{align} Sin embargo, esto significa que para un elemento arbitrario $x$ en $\left<g_1,g_2,\dots,g_M\right>$ podemos escribir \begin{align} x&=\sum_{j=1}^{M}d_jg_j\\ &=\sum_{j=1}^{M}d_j\sum_{k=1}^N\left(\sum_{i=0}^{n_j}c_{jik}m_{ji}\right)\otimes n_k\\ &=\sum_{k=1}^N\left(\sum_{j=1}^{M}d_j\sum_{i=0}^{n_j}c_{jik}m_{ji}\right)\otimes n_k \end{align} Sin embargo, los elementos de las primeras ranuras del tensor del $k$ en la suma anterior son elementos del submódulo $$\left< \sum_{i=0}^{n_1}c_{1ik}m_{1i},\dots, \sum_{i=0}^{n_1}c_{Mik}m_{Mi}\right>$$ Y como $M$ es noetheriano, esta secuencia de ideales acaba estabilizándose. Por lo tanto, para cada $1\leq k\leq N$ hay un $M_k$ siempre y cuando la secuencia anterior se haya estabilizado; fijar $M=\max\{M_k\}$ . Entonces para $K>M$ también tenemos $$\left<g_1,\dots,g_M\right>=\left<g_1,\dots,g_K\right>$$ contradictorio $M\otimes_R N$ no siendo generada finitamente.
Agradecería que alguien revisara esta prueba para comprobar que es correcta, y si no es así que me diga en qué me he equivocado. También son bienvenidas las pruebas alternativas/otros comentarios. Gracias.
