Cuál es la expresión de una representación unidimensional de $H$

Question

Dejemos que $G= \{ g=(x,y,t); \quad x,y,t \in \mathbb R\}$ sea el grupo de Heisenberg y $H= \{ g=(x,y,t) \in G; \quad x=0\}= \{ h=(0,y,t); \quad y,t \in \mathbb R\}$ sea un subgrupo de $G$ .

Quiero saber por qué la representación unidimensional de $H$ viene dada por $$ \pi_{\lambda}(h) =\pi_{\lambda}(0,y,t)= e^{i\lambda \, t} $$ para un fijo $\lambda \in \mathbb R^{*}$ y no es $$ \pi_{\lambda}(h) = e^{i\lambda \, y} \, ?$$ Gracias de antemano

Answer 1

Tienes razón, tu segundo personaje no es equivalente al anterior. Sin embargo, hay más representaciones unitarias unidimensionales (caracteres) de $H$ .

Tenga en cuenta que $H\simeq \mathbb R^2$ dado por $(0,y,t)\mapsto (y,t)$ . Por lo tanto, $\widehat H\simeq \widehat {\mathbb R^2}\simeq \mathbb R^2$ . Este último isomorfismo viene dado por $(a,b)\in\mathbb R^2\mapsto \sigma_{(a,b)}$ dado por $$ \sigma_{(a,b)}(y,t)= e^{i(ay+bt)}. $$