Cómo encontrar una matriz $B$ y una matriz invertible $P$ tal que esta matriz $A$ está en la forma canónica de Jordania?

Question

Estoy trabajando en el siguiente ejercicio:

Encuentre una matriz B y una matriz invertible P tales que

$$A = \begin{bmatrix} 1 & -2 & 1 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix}$$

está en la forma canónica de Jordania.

Este es mi trabajo hasta ahora:

He calculado el polinomio característico de $A$ para ser $c_A(x) = -x^4$ (lo que implica que el único valor propio de $A$ es $\lambda = 0$ ) y el polinomio mínimo será $\mu_A(x) = x^2$ .

Desde $\text{nullity}((A - 0I_4)^2) - \text{nullity}((A - 0I_4)^1) = 4 - 2 = 2$ La JCF de $A$ se compone de dos bloques de Jordan, cada uno de grado 2. El JCF es

$$B = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix}.$$

Para encontrar $P$ procedí a encontrar dos cadenas Jordan, $v_1, v_2$ y $v_3, v_4$ , de tal manera que $A^2v_2 = 0$ pero $Av_2 \neq 0$ (de manera similar para $v_4$ ), y $v_1 = Av_2 - 0v_2$ , $v_3 = Av_4 - 0v_4$ .

Elegí $v_2 = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 & 0 \\ \end{bmatrix}^T$ (entonces, $v_1 = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 0 \\ \end{bmatrix}^T$ ), $v_4 = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix}^T$ (entonces, $v_3 = \begin{bmatrix} -2 & -2 & -2 & -1 \\ \end{bmatrix}^T$ ).

A continuación, puse

$$P = \begin{bmatrix} 1 & 0 & -2 & 0 \\ 1 & 0 & -2 & 1 \\ 1 & 1 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ \end{bmatrix}$$

y ha calculado que su inversa es

$$P^{-1} = \frac{1}{\det(P)}\text{adj}(P) = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix}.$$

Sin embargo, cuando calculé $P^{-1}AP$ esto me dio la matriz

$$\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & -2 \\ 0 & 1 & 0 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & -2 \\ \end{bmatrix}.$$

Esta matriz no es claramente igual a $B$ .

¿Podría tener alguna ayuda para completar este ejercicio, por favor? Quizás he cometido un error de cálculo o de comprensión.

Answer 1

Observe que $A^2 = 0$ Así que $A^2v=0$ para todos $v$ . Está claro que empezar con esta condición no ayuda mucho.

Hay que empezar con los vectores propios asociados a $\lambda=0$ . Supongamos que $v_1$ es uno de esos vectores propios, entonces por la forma de Jordan que ha calculado debemos tener algún $v_{11}$ que no es un múltiplo escalar de $v_1$ Satisfaciendo a $$Av_{11} = v_1.$$ (Así que sólo hay que resolver $Av_1=0$ y luego resolver $Av_{11}=v_1$ ). Una ecuación similar sigue para el segundo vector propio $v_2$ . Es más fácil ver esto dejando que $$P = [v_1, v_{11},v_2,v_{21}]$$ y por supuesto debemos tener $v_{11}$ no es un múltiplo de $v_1$ y $v_{21}$ no es un múltiplo de $v_2$ y debemos tener $$AP=PJ.$$ (Nota: $J=B$ utilizando la convención de denotar la matriz en forma de Jordan como $J$ )

Answer 2

Desde $A^2$ es la matriz cero y $0I = 0$ se puede denotar que el eigespacio generalizado para $E_0$ es simplemente $Ker(A)$ . Ahora, se requieren dos vectores tales que $A^2x = 0$ y $x \in Img(A)$ (esto crea la cadena $Ay = 0$ es decir, la cadena es $y, x$ desde $Ay = AAx = 0$ , pero usted requiere que $y$ debe ser accesible desde $x$ en primer lugar...)

Si remas reducir $A$ se obtiene que los vectores columna linealmente independientes son: $$\begin{pmatrix}1\\1\\1\\1\\\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}-2\\-2\\-2\\-1\\\end{pmatrix} = imgA$$ Has elegido el vector $[0, 0, 1, 0]$ que NO está en $img(A)$ (verifique esto poniendo la matriz $Ax = [0, 0, 1, 0]$ en forma aumentada y reduciendo las filas. Por ejemplo, $v_1 = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 0 \\ \end{bmatrix}$ pero..: $$Av_1 \neq v_2$$ Así que aunque (no lo he comprobado pero asumiendo que tienes razón en esto), que $Av_2 = 0$ no es alcanzable en la cadena. Así que no puede ser un vector propio de base para la forma canónica de Jordan.