PMF conjunto de 3 RVs discretos

Question

Tengo 3 PMF conjuntos $(X,Y,Z)$ respectivamente, como sigue:

$(0,0,1)$

$(0,1,0)$

$(1,0,0)$

$(1,1,1)$

Cada uno con $p = 1/4$

Se me pide que calcule el $COV(X,Y), V(X+Y)$ y averiguar si sólo $X,Y$ son independientes o $X,Y,Z$ son todos independientes

Mi problema es que no sé cómo extraer $X,Y$ de aquellos $4$ puntos desde $Z$ siempre se queda por aquí. Puedo hacer este problema con el PMF conjunto de 2 RVs. He mirado alrededor pero no puedo ver ningún problema similar como PMF conjunto de más de $2$ RVs. Además, no sé cómo lidiar con la independencia de $X,Y,Z$ una vez a la vez

Se agradecería cualquier ayuda. Muchas gracias :)

Answer 1

El espacio de resultados es $\Omega=\{(0,0,1),(0,1,0),(1,0,0),(1,1,1)\}$ .

$\sigma$ -es el conjunto de potencias de $\Omega$ .

Medida de la probabilidad $P$ en $\langle\Omega,\wp(\Omega)\rangle$ es prescrito por $A\mapsto\frac14|A|$ para $A\in\wp(\Omega)$ para que $P(\{\omega\})=\frac14$ por cada $\omega\in\Omega$ .

Tenemos las siguientes variables aleatorias:

$X:\Omega\to\mathbb R$ es prescrito por $(\omega_1,\omega_2,\omega_3)\mapsto\omega_1$

$Y:\Omega\to\mathbb R$ es prescrito por $(\omega_1,\omega_2,\omega_3)\mapsto\omega_2$

$Z:\Omega\to\mathbb R$ es prescrito por $(\omega_1,\omega_2,\omega_3)\mapsto\omega_3$

Ahora todo está bien modelado y podemos empezar.

Por ejemplo, podemos encontrar $\mathbb EXY$ al afirmar que $$\mathbb EXY=\sum_{\omega\in\Omega}X(\omega)Y(\omega)P(\{\omega\})=\sum_{\omega\in\Omega}\omega_1\omega_2\frac14=[0\cdot0+0\cdot1+1\cdot0+1\cdot1]\frac14=\frac14$$

El resto se lo dejo a usted.

Answer 2

Guía:

Para encontrar $P(X=x, Y=y)$ , se puede resumir el $z$ variables:

$$P(X=x, Y=y)= \sum_{z} P(X=x, Y=y, Z=z)$$

De la misma manera,

$$P(X=x)= \sum_{y,z} P(X=x, Y=y, Z=z)$$

Por ejemplo, $P(X=0)=p(0,0,1)+p(0,1,0)=\frac12$

Intuitivamente para la independencia del $3$ variables aleatorias, piense en si tener $2$ de ellos te dan información sobre el tercero.