Encuentra el valor máximo de la expresión $P=\sum \sqrt[3]{\frac{a^{2}+a}{a^{2}+a+1}}$

Question

Dejemos que $a,b,c$ sean números reales positivos tales que $abc\leq 1$ Encuentra el valor máximo de la expresión $P=\sqrt[3]{\frac{a^{2}+a}{a^{2}+a+1}}+\sqrt[3]{\frac{b^{2}+b}{b^{2}+b+1}}+\sqrt[3]{\frac{c^{2}+c}{c^{2}+c+1}}$

Answer 1

La desigualdad del titular o los medios de poder darán $$ \sum_{cyc} \frac{a^2+a}{a^2+a+1} \ge \frac19\left(\sum_{cyc} \sqrt[3]{\frac{a^2+a}{a^2+a+1}} \right)^3$$ con igualdad si $a=b=c$ . Afirmamos que el LHS alcanza un máximo de $2$ exactamente cuando $a=b=c=1$ y mostrar lo mismo a continuación.

Esto equivale a mostrar

$$ \sum_{cyc} \left(1- \frac1{a^2+a+1} \right) \le 2 \iff \sum_{cyc} \frac1{a^2+a+1} \ge 1 $$

Como $abc=1$ para el mínimo, existen reales positivos $x, y, z$ s.t. $a = \frac{yz}{x^2}, b = \frac{zx}{y^2}, c = \frac{xy}{z^2}$ . Así que podemos homogeneizar y reescribir como $$\sum_{cyc} \frac{x^4}{x^4+x^2yz+y^2z^2} \ge 1$$

Usando Cauchy Schwarz en el LHS, es suficiente mostrar $$(x^2+y^2+z^2)^2 \ge \sum_{cyc} x^4 + xyz (x+y+z)+\sum_{cyc} x^2y^2$$ $$\iff \sum_{cyc} x^2y^2 \ge xyz \sum_{cyc} x \iff \sum_{cyc} x^2(y-z)^2 \ge 0$$ La igualdad se mantiene si $x=y=z$ es decir, cuando $a=b=c=1$ así que es cuando tenemos el máximo.