Un simple problema de probabilidad

Question

Hay $n$ candidatos a director de informática. Los candidatos son entrevistados de forma independiente por cada miembro del comité de búsqueda de tres personas y se clasifican de $1$ a $n$ . Un candidato será contratado si es clasificado en primer lugar por al menos dos de los tres entrevistadores. Encuentre la probabilidad de que un candidato sea aceptado si los miembros del comité realmente no tienen ninguna capacidad para juzgar a los candidatos y se limitan a clasificarlos al azar.

Mi razonamiento:

• Hay $n \cdot (n-1) \cdot (n-2)$ Muchas veces los entrevistadores ponen a una persona diferente en el primer puesto.

• Así que, $n^3 - n \cdot (n-1) \cdot (n-2)$ maneras de que al menos dos entrevistadores pongan a la misma persona en la primera posición

• Así que, $\frac{n^3 - n \cdot (n-1) \cdot (n-2)}{n^3} = \frac{3n^2-2n}{n^3}$ es la probabilidad deseada

Pero la respuesta dada es $\frac{3n-2}{n^3}$

¿Dónde está el problema en mi razonamiento? Gracias.

Answer 1

La probabilidad de que el segundo entrevistador coloque a una persona diferente en el primer puesto es

$$\frac{n-1}{n}\,.$$

La probabilidad de que el tercer entrevistador coloque a una persona diferente en el primer puesto es

$$\frac{n-2}{n}\,.$$

Por lo tanto, la probabilidad de que haya tres personas diferentes en la primera posición es

$$p(\text{all different})=\frac{n-1}{n}\cdot \frac{n-2}{n} = \frac{n^2-3n+2}{n^2} \,.$$

El contrario de tres personas diferentes en la primera posición es no tres personas diferentes en la primera posición (es decir, al menos dos veces la misma persona está en la posición uno). Por lo tanto, calculamos

$$p(\text{at least two identical}) = p(\lnot\text{all different}) = 1 - p(\text{all different}) =\\1-\frac{n^2-3n+2}{n^2} = \frac{3n-2}{n^2}\,.$$

Answer 2

${3\choose2} \cdot 1/n \cdot 1/n \cdot (1 - 1/n)$ --esto representa que dos de los tres miembros del comité seleccionan a la misma persona y que el tercer miembro del comité selecciona a una persona diferente.

${3\choose3} \cdot 1/n \cdot 1/n \cdot 1/n$ --esto representa que los tres miembros del comité seleccionan al mismo individuo.

Suma los dos:

$$ \array{ & & 3 \cdot 1/n^2 \cdot (n-1)/n + 1/n^3 & = \\ & = & 3(n-1)/n^3 + 1/n^3 & = \\ & = & (3n - 3)/n^3 + 1/n^3 & = \\ & = & (3n - 3 + 1)/n^3 & = \\ & = & (3n - 2)/n^3 }$$