Felicitaciones! Has encontré en una pregunta muy interesante!
En matemáticas superiores, que a menudo notamos que algunas cosas que son realmente muy fácil hablar, pero difícil de expresar con rigor tiene una propiedad que es realmente fácil de expresar con rigor pero algo que probablemente no habría pensado en un principio.
Las funciones trigonométricas son una de esas cosas. Con (mucho) de esfuerzo, usted puede mostrar que
$$\sin x = x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} - \frac{x^7}{5040} + \frac{x^9}{362880} - \cdots $$
donde los patrones de aumento de los poderes de $x$$2$, y el cambio entre los $+$ $-$ signos continúa para siempre. (Los denominadores también tienen un patrón: tomar el poder que $x$ es recaudado en el plazo y se multiplica por todos los números menores abajo a $1$; que es el número en el denominador). Tenga en cuenta que usted tiene que usar radianes por esta fórmula exacta para el trabajo; por supuesto, usted puede venir para arriba con uno de los títulos así.
Cuando usted comienza a darse cuenta de que los círculos son en realidad muy difícil de objetos para definir, fórmulas como la que se comienzan a verse más atractivo. He tenido varios matemáticas libros de texto de tomar esta infinitamente larga de expresión como la definición de la función seno. (Que resulta ser la misma cosa que el círculo de definición, pero... bueno, círculos complicarse.)
Por supuesto, no podemos sentarnos alrededor de multiplicar y agregar el resto de nuestras vidas sólo para calcular el pecado $1$, pero también podemos cortar las operaciones después de un par de términos. Si usted sale a la $x^7$ plazo, usted puede garantizar que su respuesta es correcta a por lo menos 3 lugares decimales como siempre que utilice los ángulos entre el$-\frac{\pi}{2}$$\frac\pi 2$. (Estos son los únicos ángulos que usted realmente necesita, si usted puede deshacerse de los múltiplos de $\pi$ correctamente).
El coseno de la fórmula, en caso de que te interese, es similar:
$$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} - \frac{x^6}{720}+ \frac{x^8}{40320}-\cdots$$
El internet ha fórmulas para las otras funciones trigonométricas, pero siempre puedes combinar estos.
Como el cobre.sombrero dice, también hay de estos grandes libros donde la gente hizo los cálculos una vez, y los escribió para que nadie tendría que hacerlo de nuevo. Por supuesto, estas se hicieron mucho antes de que existieran los ordenadores; nadie les hace nada más! Pero alguien de tus padres o de los abuelos de la generación probablemente todavía tiene uno sentado en su casa.
