límite de la función integrable

Question

Quiero demostrar la siguiente conjetura:

si una función integrable $f(x)$ es continua en (0,T] e ilimitada en $x=0$ , entonces existe un $M$ y $\alpha\in(0,1]$ tal que $$ |f(x)|\leq M|x|^{\alpha-1} \quad\mbox{for}\quad x\in[0,T]. $$

En primer lugar, ¿es válida esta afirmación? Si es así, ¿cómo se puede demostrar?

Answer 1

Contraejemplo: $f(x) = 1/(x\ln^2 (x)), x \in (0,1/2].$

Answer 2

Lo siguiente no es realmente riguroso, pero puede hacerse riguroso con más trabajo.

Dejemos que $T(x) = \begin{cases}1-|x| & \text{if} \ |x| \le 1 \\ 0 & \text{if} \ |x| > 1\end{cases}$ y definir $f(x) = \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}e^nT(e^{2n}(x-\tfrac{1}{n}))$ .

Gráficamente, $T(x)$ es un pico centrado en $x = 0$ con la anchura $2$ y la altura $1$ .

Por lo tanto, $e^nT(e^{2n}(x-\tfrac{1}{n}))$ es un pico centrado en $x = \tfrac{1}{n}$ con la anchura $2e^{-2n}$ y la altura $e^n$ .

Es fácil ver que las funciones $\{e^nT(e^{2n}(x-\tfrac{1}{n}))\}_{n = 1}^{\infty}$ tienen soportes disjuntos por pares (es decir, los picos no se solapan). Entonces, como $e^nT(e^{2n}(x-\tfrac{1}{n}))$ es continua para cada $n$ , $f(x)$ es continua.

También, $\displaystyle\int_{0}^{2}f(x)\,dx = \sum_{n = 1}^{\infty}\dfrac{1}{2} \cdot e^n \cdot 2e^{-2n} = \dfrac{1}{e-1} < \infty$ es decir $f(x)$ es integrable.

Sin embargo, $f(\tfrac{1}{n}) = e^n$ para todos los enteros positivos $n$ .

Entonces se puede demostrar que para cualquier $M$ y cualquier $\alpha \in (0,1]$ existe un número entero suficientemente grande $n$ tal que $f(\tfrac{1}{n}) = e^{n} > M\left(\tfrac{1}{n}\right)^{\alpha-1}$ .