Teorema de estructura para módulos generados finitamente sobre PID aplicado a un grupo abeliano de orden $10$ .

Question

Cuando aplicamos el teorema de estructura para módulos finitamente generados sobre PID a un grupo abeliano $G$ que es un $\mathbb{Z}$ -tenemos que existe una representación única para $G$ tal que $$G \cong \mathbb{Z} /d_1 \oplus \dots \oplus \mathbb{Z} /d_n$$ donde los enteros $d_i$ tienen la propiedad de que $1 < d_1 | d_2 | \dots | d_n$ .

Consideremos ahora un grupo abeliano cualquiera, $G$ , de orden $10$ entonces $G$ es un $\mathbb{Z}$ -módulo y $$ G \cong \mathbb{Z} /2 \oplus \mathbb{Z} /5$$ sin embargo en este caso $2 \not \mid 5$ por lo que parece que la afirmación anterior no sería cierta.

¿Qué he entendido mal?

Answer 1

El objetivo de la condición de divisibilidad es evitar la obstrucción a la unicidad que proporciona el teorema del resto chino esencialmente. Hay un par de maneras de hablar del teorema de clasificación de los módulos generados finitamente sobre un EPI, y cuando se aplica a $\mathbb{Z}$ estos le darán alguna suma de $\mathbb{Z}$ módulos que no son necesariamente irreducibles.

Hay entonces dos opciones para descomponer el módulo, en la primera quieres que los factores en la descomposición contengan sumandos directos y obtienes una condición de unicidad limpia conferida por la relación de divisibilidad que mencionas, que ordena los factores (esta es la descomposición factorial invariante que mencionas).

En el segundo quieres que los factores de tu descomposición factorial invariante sean los submódulos indescomponibles, es decir, los submódulos mínimos que podrían aparecer como factores en tu descomposición del producto, esta es la descomposición primaria de una $\mathbb{Z}$ en su componente $p$ -grupos para cada primo $p$ . Accidentalmente hiciste lo segundo, cuando deberías haber usado el teorema del resto chino y escribirlo como lo primero, o simplemente como $\mathbb{Z}/10$

Answer 2

Entonces no hay nada malo en ello, la representación de $G$ es único cuando $d_{1}|d_{2}| \cdots |d_{n}$ pero no necesariamente único si no lo hacen.