La línea proyectiva compleja $\mathbb{CP}^1$ es la variedad compleja definida por el cociente de $\mathbb{C}^2-\{(0,0)\}$ por la relación $z\sim w$ si $z=\lambda w$ para $\lambda\in\mathbb{C}-\{0\}$ . Estoy tratando de mostrar que un mapa $$f:\mathbb{CP}^1\to\mathbb{CP}^1$$ es un difeomorfismo (holomorfo) si y sólo si $f$ se obtiene a partir de una matriz invertible $M\in\mathrm{GL}(2,\mathbb{C})$ por cociente $$M:\mathbb{C}^2-\{0\}\to\mathbb{C}^2-\{0\}.$$ Pude demostrar que cada uno de esos $M$ efectivamente da un difeomorfismo, pero no soy capaz de demostrar la otra dirección. ¿Cómo demostrar que todo difeomorfismo surge de esta manera?
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orangeskid
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Tenga en cuenta que $GL(2,\mathbb{C})$ actúa transitoriamente sobre $\mathbb{C}P^1$ . Tome un difeomorfismo $\phi$ . Dejemos que $\phi ( \infty ) = \alpha$ . Toma $g\in GL(2,\mathbb{C})$ con $g(\alpha) = \infty$ ( por ejemplo $g(z) = \frac{1}{z-\alpha}$ ). Consideremos el difeomorfismo $\psi = g \circ \phi$ . Tenemos $\psi( \infty) = \infty$ , $\psi(\mathbb{C}) \subset \mathbb{C}$ y $\lim_{z\to \infty}\psi(z) = \psi (\infty)= \infty$ . Por lo tanto, $\psi_{\mid \mathbb{C}}$ es entera con límite $\infty$ en $\infty$ . Consideremos la expansión en serie de potencias de $\psi$
$$\psi(z) = \sum_{n\ge 0} a_n z^n$$
Ahora introduzca la coordenada $t= \frac{1}{z}$ alrededor de $\infty$ para el subconjunto $\mathbb{C}\backslash \{0\}$ del dominio $\mathbb{C}$ . Entonces tenemos la expansión de Laurent en $\mathbb{C} \backslash\{0\}$ :
$$\chi(t) \colon = \psi(\frac{1}{t}) = \sum_{n\ge 0} a_n t^{-n}$$ .
Además, como $\lim_{t \to 0} \chi(t) = \infty$ , $\chi$ no puede tener una singularidad esencial en $0$ (ver http://en.wikipedia.org/wiki/Casorati%E2%80%93Weierstrass_theorem ) y así $0$ debe ser un polo por lo que la expansión de Laurent de $\chi $ termina en algún grado $-d$ $$\chi(t) = \sum_{n=0 }^{d} a_n t^{-n}$$ Esto significa que la expansión en serie de potencias de $\psi$ es finito y por lo tanto $\psi$ es un polinomio de algún grado $d$ . con $a_d\ne 0$
$$\psi(z) = \sum_{n = 0}^d a_n z^n$$
Ahora, por cada $u \in \mathbb{C}$ la ecuación $\psi(z) = u$ tendrá $d$ raíces en $\mathbb{C}$ ( con multiplicidad) y para todos los valores menos los finitos $u$ tendrá exactamente $d$ raíces ( tenemos que eliminar el $u$ los valores del polinomio en las raíces de su derivada). Dado que $\psi$ también se sabe que es inyectiva concluimos que $d=1$ y por lo tanto $$\psi(z) = a_0 + a_1 z$$
con $a_1 \ne 0$ .
Demostramos que el difeomorfismo $\psi$ de $\mathbb{C}P^1$ viene dada por $\psi(z) = a z + b $ para algunos $a$ , $b \in \mathbb{C}$ . Por lo tanto, $\psi= g \circ \phi $ viene dada por una transformación de $GL(2,\mathbb{C})$ y por lo tanto $\phi$ es.
Obs: Reducimos el problema al de encontrar los difeomorfismos de $\mathbb{C}$ . De hecho, podemos demostrar que cualquier mapa holomorfo e inyectivo $\psi \colon \mathbb{C}\to \mathbb{C}$ es de la forma $\psi(z) = a z + b$ . Demostremos primero que $\psi$ es sobreyectiva. Nótese que todo mapa holomorfo inyectivo es abierto. Por lo tanto, $\psi \colon \mathbb{C} \to \psi (\mathbb{C})$ es un homeomorfismo, y por tanto el subconjunto abierto $\psi (\mathbb{C})$ está simplemente conectado. Supongamos que $\psi (\mathbb{C})$ no es $\mathbb{C}$ . Entonces existe un difeomorfismo holomórfico $u$ de $\psi (\mathbb{C})$ al disco de la unidad. De hecho, basta con que los mapas de difeomorfismo $u$ $\psi (\mathbb{C})$ a un subconjunto del disco de la unidad. Pero entonces $u \circ \psi$ es una función holomorfa no constante y acotada, y por tanto ( http://en.wikipedia.org/wiki/Liouville%27s_theorem_%28complex_analysis%29 ) la función $u \circ \psi $ es constante, contradicción.
Por lo tanto, un mapa inyectivo $\psi$ de $\mathbb{C}$ a sí mismo es un difeomorfismo. En particular, $\lim_{z \to \infty} \psi(z) = \infty$ . Concluimos como antes que $\psi$ es un polinomio de grado $1$ .
