¿De dónde proceden los límites de la integral de la función escalonada?

Question

EDIT: Tengo una confusión sobre Función de paso de lado pesado . Supongamos que tengo una integral como $$ \int_{0}^{\infty}dE_1\int_{0}^{\infty}dE_2\int_{0}^{\infty}dE_3 \delta(2- \gamma-E_1-E_2-E_3) $$ mi primer intento, para resolver esta integral, sería $$ \int_{0}^{\infty}dE_1\int_{0}^{\infty}dE_2\theta(2-\gamma-E_1-E_2) $$ pero también debería cambiar los límites y aquí lo que me confunde. Hay algunas restricciones en las variables: $$ 0 \le E_1 \le 1- \gamma $$ $$ 0 \le E_2 \le 1-\gamma $$ $$ 0\le E_3 \le 1 $$ y el intervalo debe ser como el siguiente $$ \int_{0}^{1-\gamma}dE_1\int_{1-E_1-\gamma}^{1-\frac{\gamma}{1-E_1}}dE_2 $$ Esto no es lo que esperaba en realidad. ¿Puede alguien explicar los últimos límites integrales?

Answer 1

Tenga en cuenta que la constante $a:=1-\gamma\geq 0$ se supone que es no negativo. La integral de OP se convierte entonces en

$$I~:=~\iiint_{[0,a]\times[0,a]\times[0,1]}\!\! dx~dy~dz ~\delta(1+a-x-y-z)$$ $$~=~\int_0^a\!dx\int_0^a\!dy\int_0^1\!dz ~\delta(1+a-x-y-z)$$ $$~\stackrel{\begin{matrix}x^{\prime}=a-x\\z^{\prime}=1-z\end{matrix}}{=}~ \int_0^a\!dx^{\prime} \int_0^1\!dz^{\prime} \int_0^a\!dy~\delta(x^{\prime}+z^{\prime}-y)$$ $$~=~\int_0^a\!dx^{\prime} \int_0^1\!dz^{\prime} \int_0^{\infty}\!dy~\theta(a-y)~\delta(x^{\prime}+z^{\prime}-y)$$ $$~=~\int_0^a\!dx^{\prime} \int_0^1\!dz^{\prime} ~\theta(a-x^{\prime}-z^{\prime})$$ $$ ~=~\frac{a^2}{2}-\frac{(a-1)^2}{2}\theta(a-1) .$$ En la última igualdad utilizamos la interpretación de la integral doble como área de un polígono en el $(x^{\prime},z^{\prime})$ avión.