la conexión entre $\gamma_m(a)$ y $\gamma_m(b)$ cuando $a\cdot b\equiv 1\pmod m$

Question

muestran la conexión entre el orden de $a$ $\gamma_m(a)$ y el orden de $b$ $\gamma_m(b)$ cuando

$$a\cdot b\equiv 1\pmod m$$

Tomé $a=5$ y $b=4$

$$5\cdot 4\equiv 1\pmod{19}$$

$$\gamma_m(a)=9\text{ and } \gamma_m(b)=9$$

Así que creo que siempre $\gamma_m(a)=\gamma(b)$ cuando $a\cdot b\equiv 1\pmod m$

¿Hay una manera más formal de mostrar esto?

Answer 1

Uno tiene $a^{\gamma_m(a)}\equiv 1$ y $b^{\gamma_m(b)}\equiv 1\pmod{m}$ . Multiplicando los dos y asumiendo sin pérdida de generalidad que $\gamma_m{a}\gt \gamma_m(b)$ podemos escribir

$$a^{\gamma_m(a)-\gamma_m(b)}\left(a\cdot b\right)^{\gamma_m(b)}\equiv 1\pmod{m}$$

Esto significa que $a^\alpha\equiv 1\pmod{m}$ con $\gamma_m(a)-\gamma_m(b)=\alpha\lt \gamma_m(a)$ que es una contradicción. Así que las órdenes son iguales.

Answer 2

$a$ y $b$ son la inversa multiplicativa de cada uno, es decir $b=a^{-1} \mod m$ . Así que la ecuación es $a\cdot a^{-1} = 1 \mod m$ . Evidentemente, si se plantea $1$ a una potencia, sigue siendo $1$ por lo que lo mismo debería ocurrir con $a\cdot a^{-1}$ . Supongamos que el orden de $a$ es $\gamma(a)$ Así que $a^{\gamma(a)}=1\mod m$ . Entonces

$$1 = a\cdot a^{-1} = (a\cdot a^{-1})^{\gamma(a)} = (a)^{\gamma(a)}\cdot (a^{-1})^{\gamma(a)} = 1 \cdot (a^{-1})^{\gamma(a)} = (a^{-1})^{\gamma(a)} = 1$$

Así que las órdenes son iguales. $\square$