Detección de senos con período desconocido

Question

Tengo una fuente de señal, que puede estar en uno de dos estados -- o bien está emitiendo un valor constante 1.0 o oscilando de manera muy cercana a la función sinusal del tiempo.
El periodo puede tener algunas desviaciones. La constante 1.0 en el primer estado también puede tener una desviación constante ( 0.98 por ejemplo).

Puedo leer el valor varias veces con los retrasos que quiera.
El objetivo principal es detectar si el emisor está en estado de oscilación.
Otro objetivo que estaría bien resolver es comprobar, que el rango está cerca de 0..1 .

Sé, que teóricamente el período puede ser lo suficientemente pequeño y es algo sobre los divisores comunes, que puedo perder la oscilación. Así que la solución se basaría en la estadística.

¿Cuáles son los mejores plazos para comprobar el valor para minimizar el número de comprobaciones y maximizar la fiabilidad de la solución? Digamos que los posibles periodos están entre 0,01 y 100 segundos, y quiero detectarlo en menos de 10 segundos.

Answer 1

Una sola medición de un valor significativamente inferior a 1,0 debería indicar una oscilación. Y si se quiere detectar un periodo de 100 segundos dentro de los 10 segundos, debemos considerar $\cos 18^\circ\approx 0.951$ como significativo. Por lo tanto, una forma es hacer mediciones en un punto determinado del tiempo y decir que el sistema está en oscilación si al menos una de las mediciones es $<\cos18^\circ$ . (Estrictamente hablando, un emisor constante haría que todas las mediciones fueran igual pero no estoy seguro de cuán constante es realmente su constante; así que asumamos que los cambios arbitrarios dentro del $0.951\,\ldots\, 1.0$ son compatibles con "constante").

Así que vamos a medir en $t=0$ y $t=10$ . Esto también detectará un período $T=100$ porque la diferencia es al menos $10\%$ del período, de ahí que nuestro $\cos 18^\circ$ se aplica. Esto también detectará $T$ es no de la forma $10 = (k+\delta)T$ con $k\in\mathbb N$ y $-\frac1{10}<\delta<\frac1{10}$ es decir, también detectaremos $$T\in [\frac{100}{9},100]\cup [\frac{100}{19},\frac{100}{11}]\cup [\frac{100}{29},\frac{100}{21}]\cup [\frac{100}{39},\frac{100}{31}]\cup\ldots $$ Hagamos otra medición en $t=\frac{10}9$ . Con el mismo argumento anterior, esto detectará $$T\in [\frac{100}{81},\frac{100}{9}]\cup [\frac{100}{171},\frac{100}{99}]\cup [\frac{100}{261},\frac{100}{189}]\cup \ldots $$ para que ambas condiciones cubran conjuntamente al menos $[\frac{100}{89},100]$ , lo que sugiere otra medición en $t=\frac{10}{89}$ . Eso detectará $$ T\in[\frac{100}{801},\frac{100}{89}]\cup\ldots$$ para que la siguiente medición sugerida sea en $t=\frac{10}{809}$ , lo que ya nos acercará bastante al límite inferior de $T$ . En resumen, necesitamos como máximo seis mediciones para distinguir una señal periódica en forma de seno (con posibles longitudes de período que oscilan en más de cuatro órdenes de magnitud) de una señal constante ruidosa.