Me cuesta entender las unidades entre la velocidad angular y la velocidad básica de un círculo. Para la velocidad angular las unidades son radianes por segundo(s) o grados por segundo(s). La velocidad de la circunferencia del círculo es la velocidad angular por el radio, pero las unidades para esto son metros por segundo(s). Entonces, ¿a dónde ha ido a parar el radián? Cuenta como unidad para la velocidad angular, pero ¿por qué no cuenta para la velocidad?
Respuestas
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En realidad, el radián no tiene unidades, ya que se define como la relación arclitud/radio. Como la arclitud es una distancia y, por tanto, tiene unidades de metros, y el radio también está en metros, el cociente es adimensional.
En particular, para la apertura angular $\theta$ la arclitud es $r\theta$ para un círculo de radio $r$ y dando la vuelta completa al círculo una vez dan una proporción $2\pi r/r=2\pi$ rad, donde la arclitud es la circunferencia completa en este caso.
hdhondt
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La velocidad de un punto de la circunferencia depende de su distancia al centro del círculo.
Supongamos que el círculo tiene un radio de $r$ m. Entonces, su circunferencia es $2{\pi}r$ m. Si gira a 1 rpm, un punto de la circunferencia recorrerá toda la circunferencia, o $2{\pi}r$ m, en 1 segundo. Durante ese segundo también viajará $360^{\circ}$ o $2\pi$ radianes.
Los ángulos son adimensionales y, por tanto, el ángulo*radio/segundo corresponde al metro/segundo.
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¿Ayuda si piensas en el factor de conversión del desplazamiento angular a la longitud de arco como teniendo unidades de $\mathrm{\frac{m}{rad}}$ ? Por ejemplo: $$C = 2\pi\,\mathrm{rad}\cdot R\,\mathrm{\frac{m}{rad}} = 2\pi R\,\mathrm{m} $$
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Posibles duplicados: physics.stackexchange.com/q/252288/2451 , physics.stackexchange.com/q/33542/2451 y los enlaces que contiene.
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Además de los enlaces que ha proporcionado Qmechanic, véase este documento relativamente reciente Unidades adimensionales en el SI : "Aquí consideramos las unidades adimensionales definidas en el SI, Por ejemplo unidades angulares como los radianes o los estereorradianes y unidades de recuento como las desintegraciones radiactivas o las moléculas. Demostramos que puede surgir una incoherencia cuando se sustituyen diferentes unidades de este tipo por una única unidad adimensional, la unidad "uno", y sugerimos cómo incluir adecuadamente dichas unidades en el SI para eliminar la incoherencia."