Probar que la extensión abeliana máxima contiene todas las extensiones abelianas

Question

Tengo un pequeño ejercicio con el que me gustaría recibir ayuda:

Dejemos que $K$ sea un campo y $K^{ab}$ sea el compuesto de todas las extensiones abelianas finitas finitas de $K$ .

Prueba $K^{ab}/K$ es abeliana y que si $L/K$ es abeliano entonces $L$ puede ser incrustado en $K^{ab}$ (nota que $L$ puede ser infinito)

Lo que he probado:

Creo que si dejamos que $\{F_{j}\}_{j\in J}$ sean todas las extensiones abelianas finitas de $K$ entonces podemos definir un mapa $$ Gal(K^{ab}/K)\to\Pi_{j\in J}Gal(F_{j}/K) $$

tomando $\sigma\in Gal(K^{ab}/K)$ a $\sigma'$ que actúa como $\sigma|_{Fj}$ en cada $F_{j}$ ya que este mapa es inyectivo si se deduce que $Gal(K^{ab}/K)$ puede ser incrustado en $\Pi_{j\in J}Gal(F_{j}/K)$ que es abeliana.

Así que conseguimos que $Gal(K^{ab}/K)$ es isomorfo a un subgrupo de un producto de grupos abelianos y, por tanto, abelianos.

¿Es eso correcto?

¿Puede alguien ayudarme a mostrar la segunda parte del ejercicio? Creo que puede ser posible utilizar la clasificación de los grupos abelianos, pero no veo cómo

Answer 1

Tenía preparada una respuesta mucho más larga, pero creo que esto debería ser suficiente. Si quieres una justificación de mi argumento, ampliaré esta respuesta.

Realmente estás preguntando si el compositum de todas las extensiones abelianas finitas de $K$ es igual al compositum de todas las extensiones abelianas de $K$ , ya sea finito o no. Pero todas nuestras extensiones son algebraicas, y toda extensión algebraica infinita es el compositum de sus subextensiones finitas. Así que el compositum de todas las extensiones abelianas de $K$ es también el compositum de todas las extensiones abelianas finitas.