Dejemos que $R=\mathbb{Z}[\sqrt{-17}]=\lbrace m+n\sqrt{-17}|m,n \in \mathbb{Z} \rbrace$ .
Cómo demostrar que $R$ no es un dominio ideal principal?
Mi manera era:
Dejemos que $I \subsetneq R$ sea un ideal de $R$ dado por $I= \lbrace m+n\sqrt{-17}|m,n \in \mathbb{Z}, m \equiv n$ (mod $ \ 2) \rbrace$ .
Ahora he demostrado que no es un ideal principal:
Supongamos que existe un $\alpha \in \mathbb{R}$ con $I=\langle \alpha \rangle$ .
Desde $2 \in I$ y $1+\sqrt{-17} \in I$ existe $r_1,r_2 \in R$ con $2=r_1\alpha$ y $1+\sqrt{-17}=r_2\alpha$ .
Para el mapa normativo $N: R \to \mathbb{N_0}$ dado por $N(a+b\sqrt{-17})=a^2+17b^2$ Es $N(\alpha_1\alpha_2)=N(\alpha_1)N(\alpha_2)$
$\Rightarrow N(r_1)N(\alpha)=N(r_1\alpha)=N(2)=4$ y $N(r_2)N(\alpha)=N(1+\sqrt{-17})=18$
$\Rightarrow N(\alpha) \mid 4$ y $N(\alpha) \mid 18$
$\Rightarrow N(\alpha)=1$ o $N(\alpha)=2$
La ecuación $a^2+17b^2=2$ no tiene soluciones con $a,b \in \mathbb{Z}$ .
$a^2+17b^2=1$ tiene $(a,b)=(\pm 1, 0)$ como la única solución.
$\Rightarrow \alpha= \pm 1$ y $I= \langle \pm 1 \rangle =R$ , lo cual es una contradicción.
Así que $I$ no es un ideal principal y $\mathbb{Z}[\sqrt{-17}]$ no es un dominio ideal principal.
¿Esta prueba es correcta o hay algo que está mal o que hay que mejorar?
