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Valores propios de los generadores

Si tengo un hamiltoniano como $\omega\sigma_z$ y 2 operadores Lindblad como $\gamma\sigma_-$ y $\gamma\sigma_+$ ¿Cómo puedo encontrar los valores propios de los generadores?

Creo que debería poner la forma general de $\rho$ y estos parámetros en la ecuación de Lindblad y encontrar $\dot{\rho}$ y luego escribirlo como

$$\dot{\rho}=L[\rho]$$

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user66408 Puntos 21

Si he entendido bien, usted está interesado en el superoperador Liouvillian $L$ , dado por: $$ L[\rho]=-i[\omega\sigma_z,\rho]+\gamma\left(\sigma_-\rho\sigma_+-\frac{1}{2}\{\sigma_+\sigma_-,\rho\}+\sigma_+\rho\sigma_--\frac{1}{2}\{\sigma_-\sigma_+,\rho\}\right). $$

Para sistemas de dimensiones finitas, encontrar sus valores propios es bastante sencillo. Un método de fuerza bruta, todavía bastante inmediato, consiste en escribir el $2\times 2$ matriz de densidad del qubit como vector de 4 dimensiones: si la matriz de densidad se lee $$ \begin{pmatrix} \rho_{00}&\rhọ_{01}\\ \rho_{10}&\rhọ_{11}\\ \end{pmatrix}, $$
construir el vector columna $|\!\,|\rho\rangle =(\rho_{00},\rho_{01},\rho_{10},\rho_{11})^T$ . A continuación, escriba el Liouvillian $L$ como $4\times 4$ que actúa sobre la matriz de densidad vectorizada $|\!\,|\rho\rangle$ (ver esta referencia para más detalles, o consulte esta pregunta anterior ). Puede comprobarlo rápidamente: $$ L=\begin{pmatrix} -\gamma&0&0&\gamma\\ 0&-\gamma+2i\omega&0&0\\ 0&0&-\gamma-2i\omega&0\\ \gamma&0&0&-\gamma\\ \end{pmatrix}. $$

Finalmente encontramos los valores propios: $$ \lambda_1=0,\quad \lambda_2= -\gamma-2i \omega,\quad\lambda_3=-\gamma+2i\omega,\quad\lambda_4=-2\gamma. $$ Como es de esperar, son los valores propios que describen la emisión y absorción de un átomo de dos niveles en un baño térmico de temperatura infinita. Para el caso muy simple de un solo qubit que estamos considerando, también se pueden derivar a través de las ecuaciones estándar de Bloch [1].

[1] Breuer & Petruccione, The theory of open quantum systems, Oxford University Press (2002).

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